Quelle: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomie, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA

Dieses Experiment zeigt die Kinematik der Bewegung in 1 und 2 Dimensionen. Diese Übungseinheit beginnt durch das Studium der Bewegung in 1 Dimension unter konstanter Beschleunigung durch die Einführung eines Projektils direkt nach oben und Mess die maximale Höhe erreicht. Dieses Labor überprüft, ob die maximale Höhe erreicht der kinematischen Gleichungen abgeleitet unter entspricht.

Bewegung in 2 Dimensionen werden durch die Einführung des Ball bei einem Winkel θvorgeführt. Mithilfe der kinematischen Gleichungen unten, kann man voraussagen, dass die Entfernung zum wo das Projektil landen wird Grundlage für die Anfangsgeschwindigkeit, Gesamtzeit und Winkel der Flugbahn. Dies zeigen bzw. kinematische Bewegung mit und aus Beschleunigung in der y- und X -Richtung.

Jede Messung der Kinematik eines Objekts, z. B. Position, Hubraum und Geschwindigkeit, muss im Hinblick auf einige Referenz-Frame erfolgen. Horizontaler Richtung und y auf der vertikalen entspricht die X -Richtung der Koordinatenachsen. Der Ursprung der Koordinatenachsen (0, 0), wird definiert als die ursprüngliche Position des Partikels (hier: eine Kugel).

Bewegung in 1 dimension

Lassen Sie uns zunächst auf die 1-dimensionale Bewegung einer Kugel über einige besondere Zeit Intervall t, entsprechend positionieren Sie y. Bezeichnen die erste Zeit als t₀, entspricht positionieren y₀. Die Verschiebung des Balls, Δy, ist wie folgt definiert:

Δy = y - y₀. (Gleichung 1)

Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Balles, V^-, ist die Verschiebung durch die verstrichene Zeit geteilt:

V^–= (y - y₀) / (t - t-₀) = ΔX /Δt. (Gleichung 2)

Die momentane Geschwindigkeit, V, ist die Geschwindigkeit über einige sehr kleine Zeitintervall definiert als:

V = Lim_{Δt→→ 0} (ΔX /Δt). ()Gleichung 3)

Die konstante Beschleunigung, ein, ist die Änderung der Geschwindigkeit geteilt durch die verstrichene Zeit:

ein = (V - V₀) / (t - t-₀). (Gleichung 4)

Set t₀ = 0 bis zum ersten Mal und lösen für V in der letzten Gleichung, die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu erhalten:

V = V₀ + at (Gleichung 5)

Als Nächstes berechnen der Position y als Funktion der Zeit unter Verwendung der Gleichung 2. y ist als neu gekennzeichnet:

y = y₀ + V^–t. (Gleichung 6)

Unter konstanter Beschleunigung wird die Geschwindigkeit mit einheitlichen Rate zu erhöhen, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit auf halbem Weg zwischen dem Anfangs- und Endwert Geschwindigkeiten werden:

V^– = (V₀ + V) / 2. (Gleichung 7)

Setzt man dies in Gleichung 6 und unter Verwendung der Definition der momentanen Geschwindigkeit gibt eine neue Gleichung für y:

y = y₀ + V₀t + ½². (Gleichung 8)

t ist für durch die Gleichung 7 in Substitution gelöst Gleichung 6:

t = (V - V₀) /a. (Gleichung 9)

Ersetzen, dass t in Gleichung 6 und noch einmal mit der Definition der Gleichung 7 wieder ändert die Gleichung für y

y = y₀ + (V + V₀) / 2 (V - V₀) / a = y₀ + (V^{2 -} V₀²) / 2a. (Gleichung 10)

Lösung für V² gibt:

V² = V₀² + 2a (y - y₀). (Gleichung 11)

Dies sind die nützlichen Gleichungen über Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit, eine Konstante ist.

Bewegung in 2 d bmessungen

Nun wird Bewegung in 2 Dimensionen berücksichtigt werden. Gleichungen 5, 7, 8,und 11 bilden einen allgemeinen Satz von kinematischen Gleichungen in y -Richtung. Diese können auf Antrag in 2 Dimensionen, X und y, indem Sie einfach die Komponenten y mit X -Komponenten erweitert werden. Betrachten Sie ein Projektil mit einer Anfangsgeschwindigkeit V₀bei einem Winkel θ in Bezug auf die X -Achse, ins Leben gerufen, wie in Abbildung 1dargestellt. Aus der Abbildung kann man sehen, dass die X -Richtung-Komponente für die Anfangsgeschwindigkeit V_{X, 0}, V₀cos ist (θ). Ebenso in y -Richtung, V,_{y, 0} = V₀sin(θ).

THe nur Beschleunigung der Teilchen erfährt, ist die Schwerkraft in die negative y-Richtung. Daher ist die Geschwindigkeit in X -Richtung konstant. Die Geschwindigkeit in y -Richtung erreicht ein Minimum an der Spitze der Parabel, auf halbem Weg durch die Verschiebung im t /2, wo t die Gesamtzeit ist. Verwenden Sie die oben genannten Gleichungen dieser 2-dimensionale Bewegung mit Gleichungen beschreiben. In diesem Bezugssystem der Ursprung (0,0) entspricht (x₀, y₀). Beginnend mit der X -Richtung

X = x₀ + V_{X, 0} t + ½_Xt² ()Gleichung 12)

= V₀ cos (θ) t. (Gleichung 13)

In y -Richtung

^{y = y} ₀ + V_{y, 0}t + ½_y t² ()Gleichung 14)

^{= v} ₀ Sünde(θ) t - ½ g t²,()Gleichung 15)

Abbildung 1: Projektil Bewegung in 2 Dimensionen. Ein Geschosses mit Anfangsgeschwindigkeit V₀bei einem Winkel θ in Bezug auf die X -Achse ins Leben gerufen. Die zwei Geschwindigkeitskomponenten sind V_Xund V_y, wo V = V_X + V_y.

w g ist hier die Erdbeschleunigung. Wenn man die Zeit mißt es dauert, bis das Geschoss um den Pfad zu vervollständigen und den Winkel θ und die Anfangsgeschwindigkeit V₀ bekannt sind, die Verschiebung in der X - und y -Richtungen können berechnet werden. Bevor Sie dieses Experiment beginnen, ist die Mündungsgeschwindigkeit der Trägerrakete, 6,3 m/s, bekannt. Diese Verschiebung Berechnungen werden mit den experimentellen Ergebnissen verglichen werden. Ein ähnliches Verfahren kann in 1 Dimension erfolgen durch erschießen das Projektil direkt nach oben, mit θ = 0.

1. Bewegung in 1 Dimension.

1. Erhalten Sie einen Ball, eine Trägerrakete mit einem Kolben, zwei Pole, einen Eimer, zwei Klemmen, ein Bungee-Seil und eine 2-m-Stick.
2. Legen Sie den Launcher auf ein Pole, mit einer Länge von 2 m Stange darüber.
3. Verwenden Sie den Kolben, um den Ball in den Launcher auf maximale Federspannung zu platzieren.
4. Winkel den Launcher direkt nach oben so θ = 0.
5. Starten Sie den Ball und verwenden Sie eine Stoppuhr zur Messung der Gesamtzeit t dauert es den Ball zu erreichen ihre maximale Höhe. Die Ausgangslage ist, wo der Ball verlässt den Launcher.
6. Beachten Sie, dass der Ball eine maximale Höhe von 2 Metern und Stopsinstantaneously, erreicht wenn es diese Höhe erreicht.
7. Wiederholen Sie die Schritte 1,5-1,6 fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Zeit für Berechnungen.

2. Bewegung in 2 Dimensionen.

1. Festlegen der Launcher und den anderen Pol 4 m auseinander, auf der gleichen horizontalen Höhe. Legen Sie den Eimer auf den anderen Pol mit der Klemme und Bungee-Seil (Abbildung 2). Die Höhe des Eimers sollte übereinstimmen, wie die Höhe auf großformatigen Ball Launcher beendet.
2. Verwenden Sie den Kolben, um den Ball in den Launcher auf maximale Federspannung zu platzieren.
3. Also den Launcher in einem Winkel von 45° Winkel θ = π /4.
4. Verwenden Sie eine Stoppuhr, um die Gesamtzeit t zu messen, braucht es die Kugel landen im Eimer.
5. Beachten Sie die ungefähre Höhe, die der Ball erreicht.
6. Wiederholen Sie die Schritte 2,4-2,5 fünfmal und verwenden Sie die durchschnittliche Zeit für Berechnungen.

Abbildung 2 . Versuchsaufbau.

Repräsentative Ergebnisse aus Schritt 1 und 2 des oben genannten Verfahrens sind unten in Tabelle 1aufgeführt. Diese Tabelle enthält die maximale Höhe der Ball erreicht in 1 und 2 Dimensionen, mit einem bekannten Anfangsgeschwindigkeit und Gesamtflugzeit. Der Wert der experimentell gemessenen maximalen vertikalen Verschiebung wird verglichen mit Gleichung 15berechnet, deren Wert findet sich auch unter. Die Tabelle enthält auch die maximale horizontale Verschiebung des Balles für die 2-dimensionalen Experiment. Dies ist im Vergleich mit den berechneten Wert aus Gleichung 13 mit dem bekannten Anfangsgeschwindigkeit und gemessenen Flugzeit. Diese beiden Ergebnisse passen sehr gut, die überprüft der kinematischen Gleichungen.

Tabelle 1. Berechnet und Messergebnisse in einer dimension .

Tabelle 2 . Berechnet und Messergebnisse in zwei Abmessungen.

Kinematik wird in den unterschiedlichsten Anwendungen eingesetzt. Das Militär nutzt diese kinematischen Gleichungen um zu bestimmen, den besten Weg um Ballistik zu starten. Für eine höhere Genauigkeit ist das Ziehen der Luftwiderstand in den Gleichungen enthalten. Auto produziert Verwendung Kinematik, Spitzengeschwindigkeiten und Bremswege herauszufinden. Um abzunehmen, müssen Flugzeuge eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen, bevor sie aus der Start-und Landebahn. Mit Kinematik ist es möglich berechnen, wie schnell der Pilot muss beim Abheben an einem bestimmten Flughafen zu beschleunigen.