Cinemática y movimiento de proyectiles

Fuente: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Departamento de física & Astronomía, Facultad de ciencias física, Universidad de California, Irvine, CA

Este experimento muestra la cinemática del movimiento en 1 y 2 dimensiones. Este laboratorio comenzará por estudiar movimiento en 1 dimensión, con aceleración constante, con el lanzamiento de un proyectil directamente hacia arriba y mide la altura máxima alcanzada. Este laboratorio se verificará que la altura máxima que alcanza es consistente con las ecuaciones cinemáticas derivadas por debajo.

Movimiento en 2 dimensiones se demostrará con el lanzamiento de la pelota en un ángulo θ. Utilizando las ecuaciones cinemáticas más abajo, se puede predecir la distancia a donde el proyectil aterrizará basado en la velocidad inicial, tiempo total y ángulo de trayectoria. Esto demostrará movimiento cinemática y a la aceleración en las direcciones y y x, respectivamente.

Cualquier medición de la cinemática de un objeto, de posición, desplazamiento y velocidad, debe hacerse con respecto a algún marco de referencia. X-la dirección de los ejes de coordenadas se corresponde a la dirección horizontal e y a la vertical. El origen de los ejes de coordenadas (0, 0), se define como la posición inicial de la partícula (aquí, una bola).

Movimiento en 1 dimensión

Empecemos por considerar la moción 1-dimensional de una bola en algunos momento determinado intervalo t, correspondiente a la posición y. Denotan el tiempo inicial t₀, que corresponde a la posición y₀. El desplazamiento de la bola, Δy, se define como:

Δy = y - y₀. (Ecuación 1)

El promedio de la velocidad de la bola, v^-, es el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido:

v^–= (y - y₀) / (t - t₀) = Δx /Δt. (Ecuación 2)

La velocidad instantánea, v, es la velocidad en algunos muy pequeño intervalo, definido como:

v = lim_{Δt→→ 0} (Δx /Δt). ()Ecuación 3)

La aceleración constante, una, es el cambio de velocidad dividido por el tiempo transcurrido:

a = (v - v₀) / (t - t₀). (Ecuación 4)

Conjunto t₀ = 0 el tiempo inicial y solucionar para v en la última ecuación para obtener la velocidad como función del tiempo:

v = v₀ + at (Ecuación 5)

A continuación, calcular la posición y en función del tiempo usando la ecuación 2. y es re-etiquetado como:

y = y₀ + v^–t. (Ecuación 6)

Bajo aceleración constante, la velocidad aumentará a velocidad uniforme, por lo que la velocidad media será a mitad de camino entre las velocidades iniciales y finales:

v^– = (v₀ + v) / 2. (Ecuación 7)

Sustituyendo esto en la ecuación 6 y utilizando la definición de velocidad instantánea le da una nueva ecuación de y:

y = y₀ + v₀t + ½². (Ecuación 8)

t es resuelto para sustituyendo la ecuación 7 en ecuación 6:

t = (v - v₀) /a. (Ecuación 9)

Sustitución que t en la ecuación 6 y de nuevo utilizando la definición de ecuación 7 otra vez cambia la ecuación de y:

y = y₀ + (v + v₀) / 2 (v - v₀) /a = y₀ + (v^{2 -} v₀²) / 2a. (Ecuación 10)

Resolviendo para v² da:

v² = v₀² + 2a (y - y₀). (Ecuación 11)

Estas son las ecuaciones útiles relacionadas con la posición, velocidad, aceleración y tiempo cuando una es constante.

Movimiento en 2 d IMENSIONES

Ahora, se considerará el movimiento en 2 dimensiones. Ecuaciones 5, 7, 8y 11 constituyen un conjunto general de las ecuaciones cinemáticas en la y -dirección. Estos pueden ampliarse a movimiento en 2 dimensiones, x e y, sustituyendo los componentes y con los componentes de x . Consideremos un proyectil lanzado con una velocidad inicial v₀en un ángulo θ respecto al eje xcomo se muestra en la figura 1. De la figura, uno puede ver que el componente x -dirección de la velocidad inicial, v_{x, 0}, v₀cos (θ). Del mismo modo, en la y -dirección, v,_{y, 0} = v₀pecado(θ).

Taceleración sólo experimenta la partícula es la gravedad en la negativa y-dirección. Por lo tanto, la velocidad en la dirección xes constante. La velocidad en la dirección yalcanza un mínimo en la cima de la parábola, a medio camino a través de la dislocación, en t /2, donde t es el tiempo total. Utilizar las ecuaciones anteriores para describir este movimiento de 2 dimensiones con ecuaciones. En este marco de coordenadas, el origen (0,0) corresponde a (x₀, y₀). A partir de la dirección de x

x = x₀ + v_{x, 0} t + ½_xt² () ecuación 12)

= v₀ cos (θ) t. (ecuación 13)

En la dirección y

^{y = y} ₀ + v_{y, 0}t ½_y t² () ecuación 14)

^{= v} ₀ pecado(θ) t - g ½ t²,()ecuación 15)

Figura 1. Movimiento de proyectil en 2 dimensiones. Un proyectil es lanzado con velocidad inicial v₀en un ángulo θ respecto al eje x. Los componentes de dos velocidad son v_xy v_y, donde V = v_x + v_y.

waquí g es la aceleración de la gravedad. Si uno mide el tiempo que tarda el proyectil completar su camino y se conocen el ángulo θ y la velocidad inicial v₀ , el desplazamiento en el x - y ydirecciones pueden ser calculadas. Antes de comenzar este experimento, se conoce la velocidad inicial del lanzador, 6.3 m/s. Estos cálculos de desplazamiento se compararán con los resultados experimentales. Un procedimiento similar puede hacerse en 1 dimensión disparando el proyectil directamente hacia arriba, con θ = 0.

1. movimiento en 1 dimensión.

1. Obtener una pelota, un lanzador con un émbolo, dos polos, un cubo, dos pinzas, una cuerda del amortiguador auxiliar y un palo de 2 m.
2. Coloque el lanzador a un poste, con una longitud de 2 m del poste por encima de él.
3. Utilice el émbolo para colocar la bola en el lanzador en máxima tensión.
4. Ángulo del lanzador directamente hacia arriba tan θ = 0.
5. Lanzar la pelota y usar un cronómetro para medir el tiempo total t que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima. La posición inicial es donde la bola sale del lanzador.
6. Observe que la pelota alcanza una altura máxima de 2 metros y stopsinstantaneously cuando llegue a esa altura.
7. Repita los pasos 1.5-1.6 cinco veces y utilizar el tiempo promedio para los cálculos.

2. movimiento en 2 dimensiones.

1. Establece que el lanzador y el otro polo 4 m se aparte, a la misma altura horizontal. Coloque el cubo en el otro polo con la abrazadera y la cuerda del amortiguador auxiliar (figura 2). La altura del cubo debe ser el mismo como la altura a la bola de whichthe sale el launcher.
2. Utilice el émbolo para colocar la bola en el lanzador en máxima tensión.
3. El lanzador a un ángulo de 45° de ángulo tan θ = π /4.
4. Use un cronómetro para medir el tiempo total t lleva la bola a la tierra en el balde.
5. Tome nota de la altura aproximada que alcanza la pelota.
6. Repita los pasos 2.4-2.5 cinco veces y utilizar el tiempo promedio para los cálculos.

Figura 2 . Disposición experimental.

Resultados representativos de los pasos 1 y 2 del procedimiento anterior se enumeran en la tabla 1. Esta tabla registra la altura máxima alcanza la pelota en dimensiones 1 y 2, con una velocidad inicial conocida y tiempo de vuelo total. Se compara el valor del desplazamiento vertical máximo medido experimentalmente a la calculada usando la ecuación 15, el valor que también se encuentra por debajo. La tabla también registra el desplazamiento horizontal máximo de la bola para el experimento 2-dimensional. Esto se compara con el valor calculado de ecuación 13 usando la velocidad inicial conocida y medida hora. Estos dos resultados coinciden muy bien, que valida las ecuaciones de cinemáticas.

Tabla 1. Calculado y los resultados medidos en una dimensión .

Tabla 2 . Calculado y los resultados medidos en dos dimensiones.

Cinemática se utiliza en una amplia gama de aplicaciones. El ejército utiliza estas ecuaciones cinemáticas para determinar la mejor manera de lanzar balística. Para mayor precisión, la fricción de la resistencia del aire está incluida en las ecuaciones. Automóvil fabrica uso cinemática para calcular velocidades y distancias de frenado. Para sacar, aeroplanos deben alcanzar cierta velocidad, antes de que correr fuera de pista. Con cinemática, es posible calcular cuán rápido el piloto tendrá que acelerar cuando despegaba en un aeropuerto determinado.