運動と飛翔経路

ソース:ミッチェル ・ ウィン博士は Ketron、 Asantha Cooray、PhD、物理教室 & 天文学、物理的な科学の学校、カリフォルニア大学、アーバイン、カリフォルニア州

この実験では、1 と 2 の次元で動きの運動を示しています。この演習は、一定加速度下での 1 次元での運動を研究することによって開始されます直接上向きと測定投射物を起動することで最大の高さに達する。この演習はその最大の高さに達し、運動方程式を以下と一致を確認します。

2 次元の運動角度θでボールを起動することでデモを行います。以下の運動方程式を使用して、1 つは投射物が着陸する場所までの距離が初期速度、合計時間、および軌道の角度に基づいて予測できます。これはそれぞれy 軸とx 軸方向に加速度を運動とを示しています。

オブジェクトの位置、変位、速度などの運動の任意の測定は、いくつかの参照フレームに対して行わなければなりません。座標系の軸のx方向は、水平方向と垂直方向にyに対応します。(0, 0) 座標の軸の原点は、(ここでボール) 粒子の初期位置として定義されます。

1 次元での運動

玉の 1 次元運動を考慮したいくつか特定の時間間隔tに対応する雄の位置から始めましょうTとして₀、位置に対応する最初の時間を示すy₀.Δyボールの変位は、として定義されます。

Δy = y ・ y₀.(式 1)

ボールの平均速度、 v^-は変位の経過時間で割った値です。

v^-= (y ・ y₀)/(t₀t) = Δx/Δt.(式 2)

瞬時速度、 vは超えてとして定義されている、いくつかの非常に小さな時間間隔の速度。

v = lim_{Δt→→ 0} (Δx/Δt)。(式 3)

一定加速は速度の経過時間で割った値の変化です。

= (v - v₀)/(t₀t)。(関係式 4)

設定t₀ =最初の時間、時間の関数としての速度を取得する最後の方程式のvのために解決する 0。

v = v₀ + で(式 5)

次に、方程式 2を使用して時間の機能として位置yを計算します。yとして再分類されました。

y = y₀ + v^-t.(関係式 6)

一定加速度で、速度は平均速度は最初と最後の速度の中間になるので均一の速度で増加します。

v^- = (v₀ + v)/2。(関係式 7)

式 6にこれを代入と瞬間速度の定義を使用して与えるy:のための新しい方程式

y = y₀ + v₀t +²½ 。(関係式 8)

tは式 7を代入することによって解決の式 6:

t =(v ・ v₀)/a.(式 9)

式 6にtを代入し、方程式 7の定義を再度使用して、再度変更「y」の方程式

y = y₀ + (v +₀v)/2 (v - v₀)/a = y₀ + (v^{2 -} v₀²)/2 a.(関係式 10)

V²の解決を与えます。

v² = v₀² + 2 a (y ・ y₀).(関係式 11)

これらは、位置、速度、加速度、およびときに一定の時間に関連便利な等式です。

2 に運動dimensions

今、2 次元での運動とみなされます。方程式 5、 7、 8、および 11は、 y方向の運動方程式の一般的なセットを構成します。これらは、2 の寸法、 xとyの動きのxコンポーネントとyコンポーネントを交換するだけで拡張できます。図 1に示すように、 x軸、初期速度v₀角度 θで起動投射物を検討してください。図では、1 つは cos x方向成分の初期速度、 v_{x 0}がv₀であることを見ることができます (θ).同様に、 y方向のv_{y 0} v₀罪を =(θ).

T彼だけ加速粒子の経験は負のyで重力の方向。そのため、 x方向の速度は一定です。Y方向の速度に達した放物線、変位、途中のピーク時に最低でt/2、ここでtは時間の合計。上記の方程式を使用すると、この 2 次元運動方程式を記述します。この座標系の原点 (0, 0) に対応 (₀, y₀x).X方向から始まる

x = x₀ + v_{x 0} t + ½_×t² (式 12)

v₀を = cos (θ) t. (方程式 13)

Y方向の

^{y = y}₀ + v_{y 0}t + ½_y t² (式 14)

^{= v}₀ 罪(θ) t - ½ g t²、(式 15)

図 1。2 次元の投射物の運動。初速v₀角度 θ x軸に対して投射物を発売します。速度 2 のコンポーネントは、 v_xと v の_y、ところV = v_x + v_y 。

wここでgは重力加速度。1 つは時間を測定する場合のパスを完了する投射物にかかる角度θと初速v₀知られている、 x変位とy方向を計算することができます。この実験を開始する前に、ランチャー、6.3 m/s の初速が知られています。これらの変位計算は実験の結果と比較されます。直接投射物の撮影で 1 次元で同様の手順を行うことができます上向きに、 θ = 0。

1 1 次元での運動。

1. ボール、プランジャーとランチャー、2 つの極、バケツ、2 つのクランプ、バンジー コード、2 m の棒を入手します。
2. ランチャーをそれの上極の 2 m 長のポールに取り付けます。
3. プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。
4. ランチャーを直接角度上向き、 θ = 0。
5. ボールを起動し、その最大の高さ.に到達するボールにかかる合計時間tの測定にはストップウォッチを使用初期位置はボールがランチャーを終了します。
6. ボールが 2 メートルと stopsinstantaneously の最大の高さに到達するその高さに達したときに注意してください。
7. 手順 1.5 1.6 5 回と計算の平均時間を使用します。

2. 2 次元の動き。

1. ランチャーは、他のポール 4 m 離れて、同じ水平の高さに設定します。クランプとバンジー コード (図 2) を使用して、一方の極にバケツを取り付けます。バケットの高さは、当該ボールの高さは、ランチャーを終了すると同じにする必要があります。
2. プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。
3. 角度 45 ° の角度でランチャーをのでθ = π/4。
4. バケツにボールの土地にかかる合計時間tを測定するのにストップウォッチを使用します。
5. ボールに達するとおおよその高さの注意してください。
6. 手順 2.4 2.5 5 回と計算の平均時間を使用します。

図 2.実験のセットアップ。

手順 1 と 2 上記の手順から代表的な結果は表 1のとおりです。このテーブルは、既知の初期速度と総飛行時間 1 と 2 の両方の次元でボールに達する高さの最大値を記録します。実験的に測定された最大垂直変位の値が比較されます15 方程式を使用して計算されますが、値も下にあります。テーブルは、2 次元の実験のための球の最大水平変位を記録します。これは方程式 13使用知られている初期の速度と測定飛行時間から計算された値と比較されます。これらの 2 つの結果は非常によく、運動方程式を検証すると一致します。

表 1.計算し 1 つの寸法の測定結果.

テーブル2.計算結果と測定結果2 つ寸法。

運動は、幅広いアプリケーションで使用されます。軍は、弾道学を開始するのに最善の方法を決定するのにこれらの運動方程式を使用します。精度を上げるため、方程式で空気抵抗のドラッグが含まれております。車は、トップ スピードと停止距離を把握するために使用運動を製造しています。脱ぐために飛行機は滑走路を使い果たす前に一定の速度を達成する必要があります。運動学、パイロットは特定の空港で離陸時を加速する必要がありますどのくらいの速可能な計算です。