Cinemática e Movimento de Projéteis

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomy, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA

Este experimento demonstra a cinemática do movimento em 1 e 2 dimensões. Este laboratório começará estudando o movimento em uma dimensão, sob aceleração constante, lançando um projétil diretamente para cima e medindo a altura máxima alcançada. Este laboratório verificará que a altura máxima atingida é consistente com as equações cinemáticas derivadas abaixo.

O movimento em 2 dimensões será demonstrado lançando a bola em um ângulo φ. Usando as equações cinemáticas abaixo, pode-se prever a distância até onde o projétil pousará com base na velocidade inicial, tempo total e ângulo de trajetória. Isso demonstrará movimento cinemático com e com aceleração nas direções y e x,respectivamente.

Qualquer medição da cinemática de um objeto, como posição, deslocamento e velocidade, deve ser feita com relação a algum quadro de referência. A direção xdos eixos de coordenadas corresponderá à direção horizontal, e y à vertical. A origem dos eixos de coordenadas (0, 0), será definida como a posição inicial da partícula (aqui, uma bola).

Movimento em 1 dimensão

Vamos começar considerando o movimento 1-dimensional de uma bola ao longo de algum intervalo de tempo específico t, correspondendo à posição y. Denote o tempo inicial como t₀, que corresponde à posição y₀. O deslocamento da bola, Δy,é definido como:

Δy = y - y₀. (Equação 1)

A velocidade média da bola, v^-, é o deslocamento dividido pelo tempo decorrido:

v^-= (y - y₀)/(t - t₀) = Δx/Δt.(Equação 2)

A velocidade instantânea, v,é a velocidade em algum intervalo de tempo muito pequeno, definido como:

v = lim_{Δt→→ 0} (Δx/Δt). (Equação3)

A aceleração constante, a,é a mudança de velocidade dividida pelo tempo decorrido:

a = (v - v₀)/(t - t₀). (Equação 4)

Definir t₀ = 0 para ser o tempo inicial e resolver para v na última equação para obter a velocidade em função do tempo:

v = v₀ + at. (Equação 5)

Em seguida, calcule a posição y em função do tempo usando a Equação 2. y é re-rotulado como:

y = y₀ + v^-t. (Equação 6)

Sob aceleração constante, a velocidade aumentará a uma taxa uniforme, de modo que a velocidade média será a meio caminho entre as velocidades iniciais e finais:

v^- = (_v0 + v)/2. (Equação 7)

Substituir isso na Equação 6 e usar a definição de velocidade instantânea dá uma nova equação para y:

y = y₀ + v₀t + 1/2 a². (Equação 8)

t é resolvido para substituir a Equação 7 na Equação 6:

t = (v - v₀)/a. (Equação 9)

Substituir esse t na Equação 6 e novamente usando a definição da Equação 7 muda novamente a equação para y:

y = y₀ + (v + v₀)/2 (v - v₀)/a = y₀ + (v^{2 -} v₀²)/2a. (Equação 10)

Resolução para v² dá:

v² = v₀² + 2a(y - y₀). (Equação 11)

Estas são as equações úteis que relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo em que a é constante.

Movimento em 2 dimensions

Agora, o movimento em 2 dimensões será considerado. As equações 5, 7, 8e 11 constituem um conjunto geral de equações cinemáticas na direção y. Estes podem ser expandidos para movimento em 2 dimensões, x e y,simplesmente substituindo os componentes y por componentes x. Considere um projétil lançado com uma velocidade inicial v₀em um ângulo φ em relação ao eixo x,como mostrado na Figura 1. A partir da figura, pode-sever que o componente x-direção para a velocidade inicial, v_x,0, é v₀cos(φ). Da mesma forma, na direção y, v_y,0 = v₀sin(φ).

Elesó acelera as experiências de partículas é a gravidade na direção negativa. Portanto, a velocidade na direção xé constante. A velocidade na direção yatinge um mínimo no pico da parábola, no meio do deslocamento, em t/2, onde t é o tempo total. Use as equações acima para descrever este movimento bidimensional com equações. Neste quadro de coordenadas, a origem (0,0) corresponde a (x₀, y₀). Começando com a direção x

x = x₀ + v_x,0 t + 1/2 a_xt² (Equação 12)

= v₀ cos (φ)t. (Equação 13)

Na direção y

^{y = y}₀ + v_y,0t + 1/2 a_y t² (Equação 14)

^{= v}₀pecado(φ)t - 1/2 g t²,(Equação15)

Figura 1. Movimento de projétil em 2 dimensões. Um projétil é lançado com velocidade inicial v₀em um ângulo φ em relação ao eixo x. Os dois componentes de velocidade são v_xe v_y, onde V = v_x +v_y.

waqui g é a aceleração gravitacional. Se for conhecido o tempo necessário para que o projétil complete seu caminho e o ângulo φ e a velocidade inicial v₀sejam conhecidos, o deslocamento nas direções x e ypode ser calculado. Antes de iniciar este experimento, a velocidade do lançador, 6,3 m/s, é conhecida. Esses cálculos de deslocamento serão comparados com os resultados experimentais. Um procedimento semelhante pode ser feito em 1 dimensão, atirando o projétil diretamente para cima, com φ = 0.

1. Movimento em 1 dimensão.

1. Obtenha uma bola, um lançador com um êmbolo, dois postes, um balde, dois grampos, um cabo de bungee, e um bastão de 2 m.
2. Conecte o lançador a um poste, com um poste de 2 metros de comprimento acima dele.
3. Use o êmbolo para colocar a bola no lançador com tensão máxima de mola.
4. Anguer o lançador diretamente para cima para que φ = 0.
5. Lance a bola e use um cronômetro para medir o tempo total que a bola leva para atingir sua altura máxima. A posição inicial é onde a bola sai do lançador.
6. Observe que a bola atinge uma altura máxima de 2 metros e pára instantâneamente quando atinge essa altura.
7. Repita as etapas 1.5-1.6 cinco vezes e use o tempo médio para cálculos.

2. Movimento em 2 dimensões.

1. Coloque o lançador e o outro polo com 4 m de distância, na mesma altura horizontal. Fixar o balde ao outro polo usando o grampo e o cabo de bungee(Figura 2). A altura do balde deve ser a mesma da altura em que a bola sai do lançador.
2. Use o êmbolo para colocar a bola no lançador com tensão máxima de mola.
3. Anguer o lançador em um ângulo de 45° para que φ = π/4.
4. Use um cronômetro para medir o tempo total que a bola leva para pousar no balde.
5. Tome nota da altura aproximada que a bola alcança.
6. Repita as etapas 2.4-2.5 cinco vezes e use o tempo médio para cálculos.

Figura 2. Configuração experimental.

Os resultados representativos das etapas 1 e 2 do procedimento acima estão listados abaixo na Tabela 1. Esta tabela registra a altura máxima que a bola atingiu em ambas as dimensões 1 e 2, com uma velocidade inicial conhecida e tempo total de voo. O valor do deslocamento vertical máximo medido experimentalmente é comparado ao calculado usando a Equação 15, o valor que também é encontrado abaixo. A tabela também registra o deslocamento horizontal máximo da bola para o experimento bidimensional. Isso é comparado com o valor calculado da Equação 13 usando a velocidade inicial conhecida e o tempo de voo medido. Estes dois resultados combinam muito bem, o que valida as equações cinemáticas.

Tempo de voo calculado (s)	Calculado y (m)	Tempo médio de voo medido (s)	Média Medida y (m)
1.28	2.02	1.22	2.1

Mesa 1. Resultados calculados e medidos em uma dimensão.

Tempo de voo calculado (s)	Calculado y (m)	Calculado x (m)	Tempo médio de voo medido (s)	Média Medida y (m)	Média medida x (m)
0.9	1.01	4.01	1.02	1.1	4

Tabela 2. Resultados calculados e medidos em duas dimensões.

A cinemática é usada em uma ampla gama de aplicações. Os militares usam essas equações cinemáticas para determinar a melhor maneira de lançar balística. Para uma melhor precisão, o arrasto da resistência ao ar está incluído nas equações. Os fabricantes de carros usam cinemática para descobrir velocidades máximas e distâncias de parada. Para decolar, os aviões devem atingir uma certa velocidade antes de ficarem sem pista. Com cinemática, é possível calcular o quão rápido o piloto precisará acelerar ao decolar em um determinado aeroporto.