Cinématique et mouvement du projectile

Source : Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Antonella Cooray, Ph.d., département de physique & astronomie, école de Sciences physique, University of California, Irvine, CA

Cette expérience démontre la cinématique du mouvement dans les dimensions 1 et 2. Cet atelier va commencer par étudier le mouvement en 1 dimension, sous accélération constante, en lançant un projectile directement vers le haut et mesure la hauteur maximale atteinte. Cet atelier permettra de vérifier que la hauteur maximale atteinte est compatible avec les équations cinématiques calculées ci-après.

Motion en 2 dimensions se traduira en lançant le ballon à un angle θ. En utilisant les cinématiques équations ci-dessous, on peut prédire la distance à l’endroit où le projectile atterrira basée sur la vitesse initiale, temps total et l’angle de trajectoire. Cela démontrera mouvement cinématique avec et hors accélération dans les directions y - et x -, respectivement.

Toute mesure de la cinématique d’un objet, comme position, déplacement et vitesse, doit se faire à l’égard de certains cadre de référence. L’axe xdes axes de coordonnées correspondra à la direction horizontale et y à la verticale. L’origine des axes de coordonnées (0, 0), sera définie comme la position initiale de la particule (ici, une boule).

Motion en 1 dimension

Commençons par examiner la motion 1 dimension d’un ballon sur certains moment donné intervalle t, correspondant à la position y. Désigner le temps initial t₀, qui correspond à la position y₀. Le déplacement de la balle, Δy, est défini comme :

Δy = y - y₀. (L’équation 1)

La vitesse moyenne de la balle, v^-, est le déplacement divisé par le temps écoulé :

v^–= (y - y,₀) / (t - t,₀) = Δx /Δt. (Équation 2)

La vitesse instantanée, vest la vitesse durant un intervalle de temps de très petites, défini comme :

v = lim_{Δt→→ 0} (Δx /Δt). ()Équation 3)

L’accélération constante, un, est le changement de vitesse divisée par le temps écoulé :

un = (v - v₀) / (t - t₀). (Équation 4)

La valeur t₀ = 0 pour la première fois et résoudre pour v dans la dernière équation afin d’obtenir la vitesse en fonction du temps :

v = v₀ + reception (Équation 5)

Puis, calculez position y comme une fonction du temps à l’aide de l’équation 2. y est ré-étiquetés comme :

y = y₀ + v^–t. (Équation 6)

En accélération constante, la vitesse augmentera à un taux uniforme, donc la vitesse moyenne sera à mi-chemin entre les vitesses initiales et finales :

v^– = ( v+v₀ ) / 2. (Équation 7)

Ce remplaçant dans l’équation 6 et à l’aide de la définition de la vitesse instantanée donnent une nouvelle équation pour y:

y = y₀ + v₀t + ½ à². (Équation 8)

t est résolu pour en remplaçant l' équation 7 en équation 6 :

t = (v - v₀) /a. (Équation 9)

Son remplacement que t dans l’équation 6 et encore une fois à l’aide de la définition de l’équation 7 nouveau changent l’équation pour y:

y = y₀ + (v + v₀) / 2 (v - v₀) /a = y₀ + (v^{2 -} v₀²) / 2 a. (Équation 10)

Résoudre pour v² donne :

v² = v₀² + 2 a (y - y₀). (Équation 11)

Ce sont les équations utiles concernant la position, vitesse, accélération et moment où un est constante.

Motion en 2 d imensions

Maintenant, on envisagera motion en 2 dimensions. Équations de 5, 7, 8et 11 constituent un ensemble général d’équations cinématiques dans la direction y. Ce peuvent être étendus à la requête en 2 dimensions, x et y, en remplaçant simplement les composantes de y avec x composants. Considérons un projectile lancé avec une vitesse initiale v₀pour un angle θ par rapport à la x -axe, comme illustré à la Figure 1. De la figure, on peut voir que la composante x -direction de la vitesse initiale, v,_{x, 0}, est v₀cos (θ). De même, dans la direction y, v,_{y, 0} = v₀sin(θ).

The seule accélération subit de la particule est gravité dans négative, y-direction. Par conséquent, la vitesse sur l’axe xest constante. La vitesse dans la direction yatteint un minimum à l’apogée de la parabole, à mi-chemin à travers le déplacement, à t /2, où t est le temps total. Utiliser les équations ci-dessus pour décrire cette motion 2 dimensions avec des équations. Dans le cadre de cet coordination, l’origine (0,0) correspond à (x₀, y₀). À partir de l’axe x

x = x₀ + v_{x, 0} t + ½_xt² ()équation 12)

= v₀ cos (θ) t. (équation 13)

Sur l’axe y

^{y = y} ₀ + v_{y, 0}t + ½_y t² ()équation 14)

^{= v} ₀ Sin(θ) t - ½ g t²,()équation 15)

Figure 1. Projectile motion en 2 dimensions. Un projectile est lancé avec une vitesse initiale v₀pour un angle θ par rapport à l’axe des x. Les composantes de deux vitesse sont v,_xet_yde v, où V = v_x + v_y.

oici g est l’accélération gravitationnelle. Si on mesure le temps nécessaire pour que le projectile terminer son chemin et l’angle θ et la vitesse initiale v₀ sont connus, le déplacement dans le x - et y -directions peuvent être calculés. Avant de commencer cette expérience, la vitesse initiale du lanceur, 6.3 m/s, est connue. Ces calculs de déplacement seront comparés aux résultats expérimentaux. Une procédure similaire peut être faite en 1 dimension par le tir du projectile directement vers le haut, avec θ = 0.

1. requête en 1 dimension.

1. Obtenir une boule, un lanceur avec un piston, deux pôles, un seau, deux colliers, un sandow et un bâton de 2 m.
2. Fixez le lanceur à un poteau, d’une longueur de 2 m du poteau au-dessus d’elle.
3. Le piston permet de placer le ballon dans le lanceur à ressort maximale.
4. Angle du lanceur directement vers le haut alors θ = 0.
5. Lancer la balle et utiliser un chronomètre pour mesurer le temps total de t , il prend le ballon pour atteindre sa hauteur maximale. La position initiale est l’endroit où la balle sort du lanceur.
6. Notez que la balle a atteint une hauteur maximale de 2 mètres et stopsinstantaneously lorsqu’il atteint cette hauteur.
7. Répétez les étapes 1,5-1,6 cinq fois et utiliser le temps moyen pour les calculs.

2. mouvement en 2 dimensions.

1. Définissez le lanceur et l’autre pôle 4 m à part, à la même hauteur horizontale. Attacher le seau à l’autre pôle, à l’aide de la pince et le sandow (Figure 2). La hauteur du seau doit être la même que la hauteur au bal mêlant sorties du lanceur.
2. Le piston permet de placer le ballon dans le lanceur à ressort maximale.
3. Le lanceur à un angle de 45° d’angle si θ = π /4.
4. Utiliser un chronomètre pour mesurer le temps total de t , qu'il prend le ballon à la terre dans le seau.
5. Prenez note de la hauteur approximative que la balle atteint.
6. Répétez les étapes 2,4-2,5 cinq fois et utiliser le temps moyen pour les calculs.

Figure 2 . Montage expérimental.

Les résultats représentatifs des étapes 1 et 2 de la procédure ci-dessus sont répertoriées ci-dessous dans le tableau 1. Cette table enregistre la hauteur maximale atteint la balle en dimensions 1 et 2, avec une vitesse initiale connue et les temps de vol total. La valeur du déplacement vertical maximal mesurée expérimentalement est comparée à celle calculée selon l’équation 15, dont la valeur se retrouve ci-dessous. La table enregistre également le déplacement horizontal maximum de la balle pour l’expérience 2 dimensions. C’est par rapport à la valeur calculée du 13 de l’équation à l’aide de la vitesse initiale connue et les temps de vol mesuré. Ces deux résultats correspondent très bien, qui valide les équations de la cinématiques.

Table 1. Calculée et résultats mesurés dans une seule dimension .

Tableau 2 . Calculée et résultats mesurés en deux dimensions.

La cinématique est utilisée dans un large éventail d’applications. L’armée utilise ces équations cinématiques pour déterminer la meilleure façon de lancer balistique. Pour une meilleure précision, la traînée de résistance de l’air est incluse dans les équations. Voiture fabrique utilisation cinématique pour comprendre les grandes vitesses et distances de freinage. Afin de décoller, les avions doivent atteindre une certaine vitesse avant ils courent hors piste. Avec cinématique, il est possible calculer à quelle vitesse le pilote devra accélérer quand décoller dans un aéroport de certains.