Diagrammi di equilibrio e corpo libero

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

L'equilibrio è un caso speciale in meccanica che è molto importante nella vita di tutti i giorni. Si verifica quando la forza netta e la coppia netta su un oggetto o un sistema sono entrambe pari a zero. Ciò significa che sia le accelerazioni lineari che quelle angolari sono zero. Quindi, l'oggetto è a riposo, o il suo centro di massa si muove a velocità costante. Tuttavia, questo non significa che nessuna forza agisca sugli oggetti all'interno del sistema. In effetti, ci sono pochissimi scenari sulla Terra in cui nessuna forza agisce su un dato oggetto. Se una persona attraversa un ponte, esercita una forza verso il basso sul ponte proporzionale alla sua massa, e il ponte esercita una forza verso l'alto uguale e opposta sulla persona. In alcuni casi, il ponte può flettersi in risposta alla forza verso il basso della persona, e in casi estremi, quando le forze sono abbastanza grandi, il ponte può diventare gravemente deformato o addirittura fratturarsi. Lo studio di questa flessione di oggetti in equilibrio si chiama elasticità e diventa estremamente importante quando gli ingegneri progettano edifici e strutture che usiamo ogni giorno.

I requisiti per un sistema per ottenere l'equilibrio sono semplici da annotare. In equilibrio, la somma delle forze e la somma delle coppie sono zero:

Σ F = 0 (Equazione 1)

e

Σ τ = 0. (Equazione 2)

La coppia τ è una forza angolare, definita come il prodotto incrociato della lunghezza del braccio della leva da cui la forza viene applicata all'asse di rotazione. Tale distanza è indicata come r:

τ = r x F, (Equazione 3)

= r F sin(θ)

dove θ è l'angolo al quale la forza viene applicata al braccio della leva. Per le forze perpendicolari rispetto al braccio della leva, l'equazione 3 diventa semplicemente τ = r · F.

Queste equazioni sono abbastanza semplici da scrivere, ma man mano che il sistema in questione diventa più complesso, sono coinvolte più forze e coppie, e trovare la configurazione ottimale che soddisfi l'equilibrio può diventare piuttosto difficile. L'approccio generale per risolvere l'equazione 1 è quello di scomporre le forze nelle direzioni x, y e z equindi di risolvere l'equazione 1 per ciascuna delle tre direzioni(ad esempio,Σ F_x = Σ F_y = Σ F_z = 0). In situazioni in cui c'è solo movimento nel piano xy,la coppia viene calcolata su un asse perpendicolare a quel piano. Questo asse viene scelto arbitrariamente per semplificare i calcoli; se tutti gli oggetti nel sistema sono a riposo, l'equazione 2 rimarrà vera su qualsiasi asse. In tre dimensioni, l'asse di rotazione viene nuovamente scelto in modo tale che i calcoli siano i più semplici, il che dipende dalla configurazione del sistema. Ad esempio, la scelta dell'asse di rotazione in modo che una delle forze sconosciute agisca attraverso quell'asse si tradurrà in un braccio a leva zero e non produrrà coppia (vedi Equazione 3), facendo apparire un termine in meno nell'equazione della coppia. Non esiste un'unica tecnica per risolvere i problemi di equilibrio, ma la scelta di comodi sistemi di coordinate può semplificare notevolmente il processo di risoluzione delle equazioni 1 e 2.

Quando gli oggetti nel sistema subiscono forze di equilibrio, alcuni di essi si comprimono o si espandono, a seconda del loro materiale e della configurazione all'interno del sistema. Ad esempio, quando una forza viene esercitata su un'asta o una molla, la sua lunghezza si espanderà proporzionalmente alla forza, data dalla legge di Hooke:

F = k ΔL, (Equazione 4)

dove ΔL è la lunghezza dell'espansione e k è una costante di proporzionalità chiamata "costante di molla".

1. Osservare l'equilibrio in un sistema statico e verificare che la somma delle forze e delle coppie sia zero. Confermare le costanti di molla k utilizzate nel sistema.

1. Ottenere un metro a bastone, due bilance a molla con costanti di molla note, due supporti per sospendere le molle da, due pesi di masse diverse e un meccanismo per sospendere i pesi dal bastone del metro.
2. Fissare i due supporti al tavolo, a 1 m di distanza.
3. Attaccare le molle ai supporti.
4. Attaccare la molla a ciascuna estremità del bastone del misuratore.
5. Attaccare il primo peso al centro del bastone del misuratore.
6. Calcolare sia la forza che la coppia esercitate dal peso sulla levetta del misuratore e registrarle nella Tabella 1.
7. Registrare la forza esercitata su ciascuna delle molle nella Tabella 1.
8. Spostare il peso a sinistra di 0,2 m e ripetere i passaggi 1,6-1,7.
9. Sposta il peso a sinistra di ulteriori 0,2 m, quindi lo spostamento totale dal centro della levetta del misuratore è di 0,4 m. In altre parole, la lunghezza del braccio del momento per la molla a sinistra è di 0,1 m e la lunghezza del braccio del momento per la molla a destra è di 0,9 m.
10. Ripetere i passaggi 1,5-1,9 per l'altro peso.
11. Calcola la differenza percentuale delle forze calcolate sulle molle sinistra e destra, F_L e F_R, rispetto alle forze corrispondenti lette dalle scale a molla.

I risultati rappresentativi dell'esperimento sono riportati nella Tabella 1. La forza esercitata sulle due molle dalla massa sospesa è indicata dalle loro posizioni: sinistra e destra, indicate dai pedice L e R. Poiché ci sono due incognite in questo esperimento, F_Le F_R, sono necessarie due equazioni per risolverle. Pertanto, le equazioni 1 e 2 vengono utilizzate per risolvere le due forze. Le coppie vengono utilizzate per ottenere una relazione tra F_Le F_R .

Poiché la forza esercitata dal peso è verso il basso, l'angolo θ nell'equazione 3 è 90° e la coppia è solo r · F. Le coppie τ_Le τ_R sono anch'queste in direzioni opposte, dove il senso antiorario è definito come la direzione positiva. Utilizzo dell'equazione 2

-τ_L + τ_R = 0 = -r_L F_L + r_R F_R. (Equazione 5)

Equivalentemente

F_L = F_R r_R/r_L. (Equazione 6)

Utilizzo dell'equazione 1

F_L + F_R = m g, (Equazione 7)

dove m è la massa del peso e g è la costante gravitazionale di 9,8 m/s². In altre parole, la forza verso il basso del peso è uguale alla somma delle forze che trattengono il sistema di bastone del peso e del metro, che sono solo le due molle a sinistra e a destra, che sospendono il sistema. Con queste due equazioni (6 e 7), si possono calcolare le incognite F_L e F_R. Questi sono mostrati nella Tabella 1. Questi valori vengono confrontati con le forze esercitate sulle molle nelle ultime due colonne della tabella. Ci si aspettano lievi discrepanze dagli errori di misurazione. Inoltre, è stato ipotizzato che la massa del bastone del contatore sia zero, il che è errato, in senso stretto, ma comunque una buona approssimazione. Questo laboratorio utilizza scale a molla, che mostrano quanti Newton vengono applicati alla molla quando allungati, quindi non è necessario conoscere la costante della molla, k.

Tabella 1. Risultati teorici e sperimentali.

Tutti i ponti sono sottoposti a una certa quantità di stress, sia dal loro peso che dal peso dei carichi che si muovono attraverso. I ponti sospesi, come il Golden Gate, sono un complesso sistema di oggetti sottoposti a forze molto pesanti e in equilibrio. I cavi che sostengono il ponte sono elastici e la loro elasticità è stata considerata quando gli ingegneri strutturali hanno progettato il ponte. Allo stesso modo, i grattacieli hanno un complesso sistema di travi d'acciaio sotto forze tremende, che nel complesso compongono un sistema rigido in equilibrio statico. L'elasticità gioca un ruolo nei materiali utilizzati per costruire edifici, in quanto devono essere in grado di sopportare una certa quantità di flessione, specialmente nelle aree in cui i terremoti sono prevalenti. Anche le gru utilizzate per costruire queste strutture sono in equilibrio, con un complesso sistema di cavi e pulegge per sollevare e abbassare i materiali da costruzione.

In questo studio, è stato osservato l'equilibrio di un sistema composto da più componenti sotto varie forze. Gli effetti dei componenti elastici sono stati osservati anche utilizzando scale a molla di costanti di molla note. Le forze esercitate sulle molle sono state calcolate utilizzando le due condizioni necessarie per l'equilibrio: la somma delle forze e la somma delle coppie sono zero.