שיווי משקל ודיאגרמות גוף חופשי

הדרישות עבור מערכת כדי להשיג שיווי משקל הם פשוטים לכתוב. בשיווי משקל, סכום הכוחות וסכום המומנטים הם אפס:

Σ F = 0 (משוואה 1)

ו

Σ τ = 0. (משוואה 2)

המומנט הוא כוח זוויתי, המוגדר כמכפלה צולבת של אורך זרוע הידית שממנה מוחל הכוח על ציר הסיבוב. המרחק הזה מסומן כ- r:

τ = r x F, (משוואה 3)

= r F sin(θ)

כאשר θ הוא הזווית שבה הכוח מוחל על זרוע הידית. עבור כוחות מאונכים ביחס לזרוע הידית, משוואה 3 פשוט הופכת τ = r · פ.

משוואות אלה הן פשוטות מספיק כדי לכתוב, אבל ככל שהמערכת המדוברת הופכת למורכבת יותר, מעורבים יותר כוחות ומומנטים, ומציאת התצורה האופטימלית המספקת שיווי משקל יכולה להיות קשה למדי. הגישה הכללית לפתרון משוואה 1 היא לפרק את הכוחות לכיווני x, y ו- zולאחר מכן לפתור את משוואה 1 עבור כל אחד משלושת הכיוונים (לדוגמה,Σ F_x = Σ F_y = Σ F_z = 0). במצבים שבהם יש תנועה רק במישור xy,המומנט מחושב על ציר בניצב למישור זה. ציר זה נבחר באופן שרירותי כדי לפשט את החישובים; אם כל האובייקטים במערכת נמצאים במנוחה, משוואה 2 תחזיק מעמד לגבי כל ציר. בשלושה ממדים, ציר הסיבוב נבחר שוב בדרך כלל כך שהחישובים הם הפשוטים ביותר, התלויים בתצורת המערכת. לדוגמה, בחירת ציר הסיבוב כך שאחד הכוחות הלא ידועים יפעל דרך ציר זה תגרום לזרוע אפס ידית ולא תפיק מומנט (ראה משוואה 3), מה שהופך מונח אחד פחות להופיע במשוואת מומנט. אין טכניקה אחת לפתרון בעיות שיווי משקל, אבל בחירת מערכות קואורדינטות נוחות יכולה לפשט מאוד את תהליך פתרון משוואות 1 ו -2.

כאשר האובייקטים במערכת עוברים כוחות שיווי משקל, חלקם יידחסו או יתרחבו, בהתאם לחומר שלהם ולתצורה בתוך המערכת. לדוגמה, כאשר מופעל כוח על מוט או קפיץ, אורכו יתרחב באופן פרופורציונלי לכוח, שניתן על פי חוק הוק:

F = k ΔL, (משוואה 4)

כאשר ΔL הוא אורך ההתרחבות ו- k הוא קבוע של מידתיות הנקרא "קבוע האביב".

התוצאות הייצוגיות לניסוי ניתן למצוא בטבלה 1. הכוח המופעל על שני המעיינות על ידי המסה התלויה מסומן על ידי מיקומם: שמאל וימין, מסומן על ידי כתובים L ו- R. מאז יש שני לא ידועים בניסוי זה, F_L ו- F_R, שתי משוואות נדרשות לפתור עבורם. לפיכך, משוואות 1 ו-2 משמשות לפתרון עבור שני הכוחות. מומנטים משמשים כדי להשיג קשר בין F_Lו- F_R .

מכיוון שהכוח המופעל על ידי המשקל הוא כלפי מטה, הזווית במשוואה 3 היא 90°, ומומנט הוא רק r · F.המומנטים τ_Lו τ_R נמצאים גם בכיוונים מנוגדים, כאשר נגד כיוון השעון מוגדר ככיוון החיובי. שימוש במשוואה 2

-τ_L + τ_R = 0 = -r_L F_L + r_R F_R. (משוואה 5)

באופן שווה ערך,

F_L = F_R RR/ r_L. (משוואה 6)

שימוש במשוואה 1

F_L + F_R = m g, (משוואה 7)

כאשר m הוא המסה של המשקל ו g הוא קבוע הכבידה של 9.8 מ '/s². כלומר, כוח הירידה של המשקל שווה לסכום הכוחות המחזיקים את מערכת מקל המשקל והמונה, שהיא רק שני הקפיצים משמאל ומימין, השעיית המערכת. עם שתי משוואות אלה (6 ו - 7), ניתן לחשב את הלא ידועים F_L ו- F_R. אלה מוצגים בטבלה 1. ערכים אלה משווים לכוחות המופעלים על הקפיצים בשתי העמודות האחרונות של הטבלה. צפויים אי-התאמות קלות משגיאות מדידה. בנוסף, ההנחה היא כי המסה של מקל מטר הוא אפס, וזה לא נכון, בהחלט, אבל בכל זאת קירוב טוב. מעבדה זו משתמשת בקשקשי קפיץ, המראים כמה ניוטון מוחלים על הקפיץ כאשר הם מתוחים, ולכן אין צורך לדעת את קבוע האביב, k.

טבלה 1. תוצאות תיאורטיות וניסיוניות.

כל הגשרים נמצאים תחת מידה מסוימת של מתח, הן מהמשקל שלהם והן ממשקל העומסים הנעים לרוחב. גשרים תלויים, כמו שער הזהב, הם מערכת מורכבת של חפצים תחת כוחות כבדים מאוד ושיווי משקל. הכבלים שמחזיקים את הגשר למעלה הם אלסטיים, ואלסטיותם נחשבה כאשר מהנדסי המבנים עיצבו את הגשר. באופן דומה, לגורדי שחקים יש מערכת מורכבת של קורות פלדה תחת כוחות עצומים, אשר לגמרי מרכיבים מערכת נוקשה בשיווי משקל סטטי. גמישות ממלאת תפקיד בחומרים המשמשים לבניית מבנים, שכן הם צריכים להיות מסוגלים לעמוד בכמות מסוימת של כיפוף, במיוחד באזורים שבהם רעידות אדמה שכיחות. העגורים המשמשים לבניית מבנים אלה נמצאים גם בשיווי משקל, עם מערכת מורכבת של כבלים ו גלגלות להרים ולהוריד את חומרי הבנייה.

במחקר זה נצפתה שיווי משקל של מערכת המורכבת מרכיבים מרובים תחת כוחות שונים. ההשפעות של הרכיבים האלסטיים נצפו גם באמצעות קשקשי האביב של קבועי האביב הידועים. הכוחות שהופעלו על המעיינות חושבו באמצעות שני התנאים הדרושים לשיווי משקל: סכום הכוחות וסכום המומנטים הם אפס.