Einphasen- und Zweiphasenströmung in einem Festbettreaktor

Quelle: Kerry M. Dooley und Michael G. Benton, Department of Chemical Engineering, Louisiana Landesuniversität, Baton Rouge, LA

Das Ziel dieses Experiments ist es, das Ausmaß der Reservepositionen im typischen verpackten Bett Reaktoren in einphasigen und Zweiphasenströmung (Gas-Flüssigkeit) ermitteln und bewerten die Auswirkungen dieser Fehlverteilung auf Druckabfall. Die Konzepte der Residenz Zeitverteilung und Streuung werden durch den Einsatz von Tracer eingeführt, und diese Begriffe beziehen sich auf physische Fehlverteilung.

Channeling in einem einphasigen Strom kann an Wänden entlang oder durch bevorzugte Strömung durch einen größeren Teil des Querschnitts Bett auftreten. Channeling in Zweiphasenströmung kann resultieren aus noch komplexer Ursachen, und einfache Zweiphasenströmung Theorien selten Vorhersagen, Druckverluste in gepackten Betten. Ein Design-Ziel ist immer das Ausmaß des Channelns zu minimieren, indem Sie finden das optimale Bett und Partikel Durchmesser für die Design-Durchflussmengen und durch die Verpackung ein Bett in einer Weise absetzen zu minimieren. Es ist immer wichtig zu quantifizieren, wieviel Fehlverteilung auftreten kann und die Einheit seines Auftretens berücksichtigt zu entwerfen.

Des Permeameter Apparat Maßnahmen Druckabfall, ΔP und die Konzentration der Tracer (Farbstoff) beenden horizontale verpackte Betten von gepanzerten Glas für Wasser, Luft oder Zweiphasenströmung (Abbildungen 1 und 2). Wasser tritt durch ein Regelventil und durch manuelle Ventile zu fünf Betten (48" lange, 3" I.D.) mit unterschiedlicher Größe Glas Bead geworfen (zufällig) Packungen weitergeleitet werden kann. Der Druckabfall wird mit einem Druckaufnehmer gemessen. Der Wasserfluss wird durch einen Differenzdruck (DP, Blende) Sender und den Luftstrom durch einen trockenen Test Meter (ähnlich einem Hause Gaszähler) gemessen. Die Farbstoff-Probe ist flussaufwärts durch eine automatische Probenahme Ventil injiziert. Die Ausfahrt Konzentration des Farbstoffs aus einem Bett wird mit einer UV-Vis-Spektrometer gemessen. Residenz Zeit Ausschüttungen aus den Tests berechnet und im Vergleich zu den Vorhersagen der Theorien über Streuung in gepackten Betten. Zweiphasenströmung wird im Bett 5, enthält die größten Partikel untersucht werden.

Abbildung 1: Prozess-Instrumentierung-Diagramm des Apparates.

Abbildung 2. 3-d-Darstellung des Apparates. #1 Bett steht an der Spitze, Bett #5 unten. Das Wasser-Steuerventil ist auf der linken Seite (rote Mütze). Der DP-Sender ist in der oberen Mitte (blau).

Gas-Flüssig Gegenstrom vertikale verpackte Betten (Füllkörperkolonnen) werden häufig in Trennverfahren wie Destillation, Absorption und stripping eingesetzt. ¹ Gleichstrom horizontale verpackte Betten dienen oft als Reaktoren oder Adsorber mit einem festen Katalysator oder Adsorbens. In beiden Fällen (als Trennzeichen oder Reaktoren) erhöht die Verpackung die Fläche des Dampfflüssigkeit Kontakt. ¹ Packung kann in zwei Formen vorhanden: abgeladen, Verpackung, bestehend aus zufälligen oder einfache geometrische Formen von Materialien wie Lehm, Metalle oder keramische Oxide oder strukturierte Verpackung aus Metall und Kunststoff, bestehend aus hoch definiert miteinander verbunden geometrische Netzwerke (in der Regel aus Wellpappe Metalle oder Kunststoffe), die Druckverlust im Vergleich zu den gedumpten Packungen reduziert werden können. ¹ jedoch kann ob horizontal oder vertikal, Fehlverteilung (Channeling) die Leistung der Separator, der Reaktor oder Adsorber beeinträchtigen; Manchmal können verschiedene Arten von Flow Distributoren zur Milderung eingesetzt werden. ² die einphasigen kann auf die Vorhersagen der Ergun Gleichung verpackten Bett ΔP verglichen. ³

Indikatoren sind Farbstoffe, die augenblicklich in den vorgelagerten Fluß eingespritzt werden und deren Zusammensetzung in Abhängigkeit der Zeit bemisst sich in der Strömung flussabwärts des Bettes. ⁴ die messbare Tracer-Moleküle werden als Merkmal aller Moleküle, aus denen die Flüssigkeit fließen werden. Das Volumen der injizierten Tracer muss klein im Verhältnis zu dem System-Volume sein. Tritt perfekte Pfropfenströmung (keine axiale mischen) in einem verpackten Bett, würde die Tracer injiziert zum Zeitpunkt Null zu einem späteren Zeitpunkt als eine Spitze das Bett verlassen. Für jeden richtigen Bett wird die Tracer zerstreuen des Reaktors bei niedrigeren Konzentrationen über einen längeren Zeitraum verlassen. Wenn der Fluss nicht Maldistributed ist, wird die Ausbreitung durch die Gaußsche (Normal) Verteilung, mit dem Höhepunkt der Kurve an die durchschnittliche Verweilzeit beobachtet beschrieben. Mehr die Tracer breitet sich in Zeit, desto schlechter die Fehlverteilung und in der Regel die ärmeren den Trennung oder Reaktion Prozess.

Die Residenz Zeitverteilung (RTD) beschreibt die Verteilung der Fälle, in denen Moleküle im Bett verbringen können. Wenn M die Gesamtmasse der Tracer in das System, Q die volumetrische Durchflussrate injiziert ist und C(t) die Abwasser Konzentration ist, dann ist die Massenbilanz auf der Tracer:

(1)

Die linke Seite der Gleichung (1) stellt Tracer in Masse und die Rechte Seite dar Masse heraus. E (t) ist das Bett verlassen Residenz Zeitverteilung (FTE), einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mit Gleichung 1 für das Integral, E(t) kann es als berechnet werden:

(2)

E (t) dt ist der Bruchteil (Wahrscheinlichkeit) von Molekülen im Ausgang Strom der Verweilzeit zwischen t und t + dt. Die Begriffe E-Kurve und FTE sind Synonym. Für verpackte Betten bezieht sich die Verweilzeit auf dem Hohlraumvolumen (Produkt der gesamten Reaktorvolumen V und Porosität) geteilt durch den Volumenstrom Q. Die mittlere Verweildauer, , können definiert werden und im Zusammenhang mit E(t)dt, die Wahrscheinlichkeit eines gegebenen Moleküls Eintritt in das Bett bei t = 0 wird die Ausfahrt t:

(3)

Wie aus Gleichung 3 hervorgeht, hat E(t) inverse Zeiteinheiten. Manchmal ist die dimensionslose E-Kurve statt E-Kurve aufgetragen. Diese dimensionslose E-Kurve, E (t/), erhält man durch Multiplikation der E-Kurve von . Der Durchschnitt liegt bei 1. Ein weiterer guter Weg, um die Abweichung vom Pfropfenströmung ("Zerstreuung") zu quantifizieren ist, die Varianz der E-Kurve (σ²) geteilt durch seinen Mittelwert quadriert zu berechnen:

(4)

Diese Menge sollte invariant in Bezug auf Durchfluss für einen verpackten Bett wenn Fehlverteilung nicht vorhanden ist. Der Wertebereich durch molekulare Diffusion sollte:

(5)

für Re_p < 40, wo Re_p ist die Partikel Reynolds-Zahl, d_p der durchschnittlichen Partikeldurchmesser und L Bett Länge. Bei höheren Werten von experimentellen σ² als vorhergesagt durch Gleichung 5 und Abweichungen von der Gauß-Verteilung zeigen Fluss Fehlverteilung, wie einem "frühen" Gipfel in E (t)-Kurve oder einem langen Schweif auf den Hauptgipfel.

In einigen Fällen können Art und Umfang des die Fehlverteilung visuell beobachtet werden. Dies gilt insbesondere in Zweiphasenströmungen. Für Zweiphasenströmung, die homogene und die geschichteten Modell gibt es zwei einfache Modelle. ^{3 , 5} für homogene Strömung, die grundlegenden Annahmen sind, dass die tatsächliche Gasgeschwindigkeit, U_G, tatsächliche flüssige Geschwindigkeit, U_L und gemittelte Geschwindigkeit der Flüssigkeit-Gas-Gemisch, U_Tp sind gleich:

U_L = U_G = U_Tp (6)

Dann die zwei-Phasen-Dichte von G/U_Tp gegeben ist (G ist Masse Geschwindigkeit), und die gemittelte Zweiphasen-Viskosität, µ_Tp, ist gegeben durch:

Μ_Tp^-1 = μ_L^-1 (1 - X) + μ_G^-1 X (7)

wobei X die Qualität (Gewichtsanteil von Dunst in einer Dampf-Flüssigkeitsgemisch) und µ_L, μ_G ist, sind die Viskositäten der jeweiligen flüssigen und gasförmigen Phasen.

Für geschichtete Strömung, einmal den Druckabfall, total Porosität und beide Volumenstrom Preise bekannt sind, den Gas Volumenanteil in aktiv (d. h. nicht stagniert) fließen, α, kann berechnet werden durch Festlegen der Ergun Gleichungen (oder ähnliche Gleichungen für ΔP) gleich für beide Phasen. Man kann dann Vorhersagen ΔP/L. Unabhängig von der Art der Strömung müssen beide Phasen gleich Druck sinkt, weil sie parallel sind. Die Massenbilanz die Zweiphasen-Geschwindigkeit bezieht sich auf die eigentliche Phase Geschwindigkeiten:

U_Tp = U_L (1 - α) + U_G (α) = G [(1 - X) / ρ_L + X / ρ_G] (8)

Die Wirkung des Gasflusses auf die Flüssigkeit ist, seine effektive Querschnittsfläche zu reduzieren und eine fast Null-Shear-Schnittstelle bereitstellen. Auch soll die Wirkung der Flüssigkeitsstrom auf das Gas seine effektive Querschnittsfläche zu reduzieren. Daher überschreiten tatsächliche Zweiphasenströmung Druck Tropfen in der Regel des ΔP einfach auf der Grundlage der Messung oder Berechnung von α und Anwendung einer verpackten Bett-ΔP-Gleichung (mit α anstelle von ε) berechnet.

1. Inbetriebnahme das Gerät

Das Gerät ist in erster Linie durch die dezentrale Steuerung-System-Schnittstelle betrieben. Eine Dauerwelle P & ID-schematische erscheint und öffnen/schließen automatische Ventile ist Point & click.

1. Um Wasserdurchfluss auf jedem Bett #4 und #5 herzustellen, öffnen Sie die ein- und Ausfahrt Ventile auf dem Bett getestet und die Wasserversorgung Magnetspule.
2. Mithilfe der Durchflussregler um Wasser fließt durch das Bett, erhöhen sie allmählich zu starten. Gute Ausgangspunkte sind 400 mL/min für Bett #4 und 500 mL/min für Bett #5. Überwachen Sie den Differenzdruck über den Betten. Variieren Sie die Strömung um die gesamte Palette an den DP-Sender zu decken.
3. Schalten Sie die Spektrometer-Ausrüstung und eine Kommunikation mit der Steuerung der Konsole. Spektrometer Verfahren sind detailliert in der Bedienungsanleitung (SpectraSuite). Die Kalibrierung des Spektrometers für die Fluoreszenzfarbstoff-Standards erfolgt.
4. Führen Sie eine Tracer-Test jeweils auf Betten #4 und 5 mit 50 ppm färben in VE-Wasser als Tracer, mit einer einzigen durchschnittlichen Durchflussrate für jedes Bett.
5. Legen Sie die Spektrometer-Sonde in Probe Prüfpunkt (Abb. 1). An der PERM-Schnittstelle ändern Sie Injektion Ventilstatus von "Running", "Laden."
6. Injizieren des Tracers mit der Spritze in die Probe-Ventil zur Verfügung gestellt. Ändern Sie den Status auf "Ausführen".
7. Reinigen der Injektion Kammer des Ventils Probe durch eine Änderung seines Status zurück zu "Laden", lösen und laden die Spritze mit Wasser, dann Injektion mindestens 100 mL Wasser in das Ventil. Wenn die injizierte Probe vollständig beendet wurde, das Bett (Spektrometer Extinktion Rückkehr zur Basis Linie), ändern Sie den Ventil-Status wieder auf "Ausführen" und lassen Sie das Wasser durchfließen das Ventil für 10-15 min bei hohem Durchsatz vor der erneuten Verwendung.

2. Durchführung von Zweiphasenströmungen Druckabfall Experimente

Achten Sie darauf, dass die Wasserventile, die Betten sind geschlossen, die ein- und Ausfahrt Ventile zu Bett #5 geöffnet sind, das Ablassventil geöffnet und das manuelle Ventil für die Luft zu den Betten geschlossen ist.

1. Öffnen Sie langsam die Luftregler um einen Luftstrom (< 5 Psig anfangs) zu etablieren. Öffnen Sie das manuelle Ventil für die Luft, um die Betten.
2. Wasser-Regler auf gewünschte Sollwert (700 mL/min) und öffnen Sie manuelles Ventil zu. Strecke Wasser/Luftstrom mit Gas-flüssig Abscheider (siehe Ventile in Abb. 1).
3. Bestätigen Sie, dass Wasser beendet wird, um ablaufen zu lassen. Schließen Sie das Ventil zum Abfluss für einen Zeitraum von Zeit, um einen flüssigen Kopf im Gas-flüssig Abscheider aufzubauen. Dadurch werden bessere Trennung von Luft und Wasser.
4. Einstellen Sie Luftstrom (in der Regel < 2 SCFM) als gewünschte mit Druckregler und das trockene Test Messgerät auf die Gasleitung Ausfahrt. Schließen Sie das Ablassventil für kurze Zeit, um eine korrekte Gasstrom lesen auf dem nassen Test-Zähler.
5. Durchführen Sie Zweiphasenströmung Druck Tropfen (Verwendung DP Sender) Experimente über Bett #5, zu mehreren Luft Preisen. Versuchen Sie, die Reichweite des Senders DP zu decken. Trennen Sie das trockene Test Messgerät siehst du Wasser aus der Gasleitung Ausfahrt verlassen.

Erhalten die RTDs (E-Kurven, mit Gleichungen 1 - 2) nach Subtraktion einer entsprechenden Basislinie (falls erforderlich) aus den Spektrometer-Signalen. Ein Beispiel für Basislinienkorrektur für Bett #3 (hier nicht verwendet) ist in Abbildung 3. Mit Gleichungen 1-3, berechnen Sie die durchschnittliche Porosität, Tracer Masse, mittlere Verweilzeit, Varianz und Abweichung vom Mittelwert geteilt Quadrat aus der RTDs. vergleichen berechnet Tracer Masse mit eingespritzte Masse - wenn sie nicht innerhalb der erwarteten Genauigkeit, prüfen, wie die Basislinie wurde in das Spektrometer Messungen festgestellt (und vielleicht anders zu bestimmen). Untersuchen Sie, wie die Varianz im Vergleich zu der Vorhersage von der Zerstreuung Theorie (Gleichungen 4-5); Abweichungen zu übermäßigen Channeling bezeichnen.

Abbildung 3 . Bett #3 dimensionslose FTE E-Kurve (390 mL/min, 50 ppm Tracer Einspritzung) mit und ohne Basislinienkorrektur. Die berechneten aus den Gleichungen 2 und 3 war 3,6 Minuten. Die Basislinienkorrektur erfolgte durch Subtraktion von zwei durchschnittliche Ausgangswerte, eine vor und eine nach das Maximum. Der vorhergehende wurde von allen Werten vor das Maximum, das andere nach nach das Maximum aus allen Werten subtraced wurde abgezogen.

Sobald die Porositäten Betten (Gleichung 3) gefunden haben, kann die Ergun Gleichung verwendet werden, Vorhersagen der ΔP für die Wasser-Strömung-Experimente. Die durchschnittlichen Partikeldurchmesser muss zuerst berechnet werden. Da Partikel ziehen Sie bezieht sich auf Bereich für Durchfluss, die Fläche (d²) Gewichtung in der Regel der beste Weg, den mittlere Durchmesser für eine Reihe von Partikeln zu erhalten ist. Der mittlere Durchmesser berechnet werden kann wie folgt abrufen der Partikeldurchmesser aus den Angaben in der Materialliste (ω_ich ist der wt-Anteil der Teilchen des Durchmessers d_ich):

(9)

Die berechneten Porositäten können verwendet werden, um die Ursache von Abweichungen zwischen vorhergesagt (durch die Ergun Gleichung) und des ΔP gemessen. Beispielsweise ist die minimale Porosität für Kugeln dicht an dicht 0,36. Es ist unwahrscheinlich, dass jede echte ε eine gesamte Bett weniger als 0,3. Vorhersagen des ΔP >> tatsächlichen ΔP an den Wänden oder im oberen Teil des Bettes empfehlen Kanalisierung (Kurzschluss), Absetzen tritt. Solche Phänomene führt zu einer niedrigen ε aus der E-Kurve, was zu hohen prognostizierten ΔP berechnet. Dies ist der Fall in Abbildung 4 für beide Betten #3 und 4. Beachten Sie, dass je mehr ε erwartet = 0,36 reproduziert Ergun Gleichung Ergebnisse außer bei einer sehr hohe Durchflussrate, wo ein hoher Prozentsatz der Strömung durch niedrige Voidage Regionen wurde. Dieses Channeling kann tatsächlich im Experiment beobachtet werden.

Abbildung 4 . Experimentelle ΔP ist im Vergleich zu den Vorhersagen der Ergun Gleichung, sowohl bei ε = 0,36 und die ε Werte aus der E-Kurven ermittelt.

Vorhersagen des ΔP << tatsächlichen ΔP vorschlagen Channeling nur durch die untere Hälfte des Bett oder teilweise Bett Blockade. Für diese Betten ist dies unwahrscheinlich.

Für die zwei-Phasen-Strömungen zu berechnen vorhergesagten ΔP durch homogene Strömung und geschichtete Strömung Theorien Gleichungen 6-9. Für geschichtete Strömung muss man lösen die Ergun Gleichung und der Gleichung 9 gleichzeitig, α, Ergun ΔP/L (flüssig) Einstellung zu erhalten = Ergun ΔP/L (Gas). Anschließend vergleichen vs. tatsächliche ΔP berechnet und sehen, welche Theorie am besten zutrifft, oder wenn in der Tat entweder Theorie gilt. Andere Strömungsformen (z. B. Slug, Nebel oder inhomogene Schampus fließt) sind möglich, ebenso großen Fluss Verzerrungen durch Channeling, die oft mehr ist weit verbreitet in zwei-Phasen-Strömungen.

Für zweiphasige durchströmt Bett #5, die ΔP anhand homogene Theorie erweisen sich als besser als die Verwendung von geschichteten Theorie (Tabelle 1), obwohl beide Theorien gilt genau wie gesehen. Die hohe tatsächliche ΔP vorschlagen, schwere Channeling in einem horizontalen Bett während der Zweiphasenströmung - Flüssigkeit beschränkt sich auf einen kleinen Teil der Querschnittsfläche. In der Tat sah das Gas Volumen Brüche durch Sichtkontrolle geschätzt sein mindestens 0,90. Die Flüssigkeit wurde auch auf die-Wand-Region des unteren Voidage beschränkt, die ΔP erhöht. Die Ergebnisse spiegeln die Grenzen der einfacheren rheologischen Modelle für zwei-Phasen-Strömung, und daher weitaus komplexer Microrheological Modelle finden sind mehr verwenden heute.

Tabelle 1: Gas Volumen Brüche α und Druck fällt in zwei-Phasen-Strömung, Bett #5.

In diesem Experiment wurde das echte Fließverhalten der horizontalen verpackt Betten, beide in Einzel- und zwei-Phasen-Strömung, die einfachere theoretische Modelle für Druckabfall und Dispersion ("Flow" breitet sich in axialer Richtung, abweichende Pfropfenströmung) gegenübergestellt. Das Dienstprogramm von Markierversuchen in sondieren für Fehlverteilung ("channeling") in solchen Betten ist demonstriert worden, und es wurde auch nachgewiesen, dass bestimmte Kennzahlen berechnet aus der Tracer-Tests Aufschluss über die Ursache für das Channeling geben können. Diese Berechnungen mit Markierversuchen, wie die E-Kurve, computing sind normalerweise bekannt als "Residenz Zeitverteilung" (FTE) Theorie.

Channeling in einphasigen Strom kann entlang der Wände oder jede andere Region der niedrigen Voidage, z. B. auftreten, wenn Abrechnung in einem horizontalen Bett auftritt. Channeling in Zweiphasenströmung kann resultieren aus noch komplexer Ursachen, und wie einfach gesehen Zweiphasenströmung Theorien selten Vorhersagen Druckverluste in gepackten Betten. Channeling nachgelagerten Trennung Kosten erhöht oder das Produkt ruinieren kann. Ein Ziel des Designs ist immer das Ausmaß des Channelns zu minimieren durch finden der optimalen Bett und Partikeldurchmesser für eine gegebene gewünschte Q, und durch die Verpackung ein Bett in einer Weise absetzen zu minimieren.

Die Tracer-Methode der Prüfung ist eine einfache Möglichkeit, die FTE zu quantifizieren. Der Tracer sind jedoch selten die gleichen Moleküle wie in den Prozess verwendet (obwohl sie sich in der Nähe, wenn Isotope verwendet werden). Daher können Tracer Moleküle in der flüssigen Phase nicht in genau der gleichen Weise als Edukt oder adsorptiv Moleküle Verhalten. Insbesondere ist es wichtig, dass die Tracer nicht adsorbieren auf die festen Partikel, weil dann voll und ganz charakteristisch für ein Fluid -Molekül kann es nicht sein.

Die Zeit verbringt jedes Molekül der Reaktionspartner in einem chemischen Reaktor ist eine wichtige Determinante für die makroskopische Konvertierung und Selektivität, das gewünschte Produkt. Das Auftreten von "toten Zonen" (Regionen des stagnierenden Flow) führen oft zu schlechter als erwarteten Selektivitäten, auch wenn die Konvertierungen nicht sehr betroffen sind. Dies ist ein Grund, warum FTE Theorie im Reaktordesign so wichtig ist. ⁴

Tracer dienen auch durch Umwelt- und Erdöl-Ingenieure helfen Untergrund solide Verpackungsstruktur charakterisieren. Bei diesen Anwendungen werden zwei Brunnen gebohrt noch recht weit auseinander; eine Tracer ist in einer injiziert und erholte sich auf der anderen. Denn die Erde Untergrund ist sehr heterogen, die Abwasser Profile (E-Kurven) sind in der Regel eineiigen, auf das Vorhandensein von präferenziellen Fließwegen. Diese Informationen helfen, die Struktur der unterirdischen Schichten zu charakterisieren, was wichtig für die Modellierung von Erdöl Erholung und Schadstoffbelastung Transport im Grundwasser ist.

Umwelttechnik, kann die Verwendung der Partitionierung Tracer zu lokalisieren und zu quantifizieren, organische Verunreinigungen im Untergrund Schichten verwendet werden. Eine inerte Tracer wird eingespritzt, um die fließenden (Wasserphase) zwischen zwei Brunnen charakterisieren. Eine Partitionierung Tracer wird dann injiziert, bevorzugt in einer organischen Kontaminanten Phase zu partitionieren, falls vorhanden. Die Tracer ist leicht genug, die es schließlich aus der organischen Phase diffundieren wird. Dieses Verhalten manifestiert sich als eine Zeitverzögerung im Vergleich zu den inerten Tracer und Vergleich dieser beiden kann verwendet werden, um das Volumen der stagnierenden organische Phase vorhanden ableiten.

Zwei-Phasen-Strömungen sind auch häufig in Kraftwerken, in nicht-Reaktor, nicht-Adsorber Anwendungen gefunden. Ein Beispiel ist Wärmeübertragung, mit dem Dampf erzeugt in einem Kessel siedet. Sie sind auch in allen Destillationskolonnen, Absorber und Stripperinnen, obwohl in vertikale als horizontale Konfiguration gefunden.

Materialliste

1. Encyclopedia of Chemical Engineering Equipment." Distillation Columns. http://encyclopedia.che.engin.umich.edu/Pages/SeparationsChemical/DistillationColumns/DistillationColumns.html. Accessed 9/22/16.
2. Encyclopedia of Chemical Engineering Equipment." Absorbers. http://encyclopedia.che.engin.umich.edu/Pages/SeparationsChemical/Absorbers/Absorbers.html. Accessed 9/22/16.
3. Nevers, N., Fluid Mechanics for Chemical Engineers, 3^rd Ed., McGraw-Hill, 2004, Ch. 11. A derivation can be found in: M.M. Denn, "Process Fluid Mechanics", Prentice-Hall, 1980, Ch. 4.
4. Fogler, H.S., "Elements of Chemical Reaction Engineering", Prentice-Hall, 2006, Ch. 13.1-13.3 and 14.3-14.4 (dispersion models); Levenspiel, O., "Chemical Reaction Engineering", 3^rd Ed., John Wiley, 1999, Ch. 11 and 13 (dispersion models); Missen, R.W., Mims, C.A., and Saville, B.A., "Introduction to Chemical Reaction Engineering and Kinetics", John Wiley, 1999, Ch. 19 and 20.1.
5. Levy, S., "Two Phase Flow in Complex Systems", John Wiley, 1999, Ch. 3.