운동학 및 발사체 운동

위치, 변위 및 속도와 같은 물체의 운동학을 일부 참조 프레임과 관련하여 수행해야 합니다. 좌표 축의 x-방향은수평 방향과 수직에 대한 y에 해당합니다. 좌표 축(0, 0)의 원점은 파티클의 초기 위치(여기, 공)로 정의됩니다.

1차원의 모션

먼저 위치 y에 해당하는 특정 시간 간격 t에 걸쳐 공의 1차원 모션을 고려해 봅시다. 위치 y 0에 해당하는 초기 시간을 t_0으로 나타냅니다. 공의 변위인 Δy는다음과 같이 정의됩니다.

Δy = y - y₀. (방정식1)

공의 평균 속도, v^-경과 된 시간으로 나누어 변위입니다 .

v^-= (y - y 0)/(t - t₀₎= Δx/Δt.(방정식 2)

즉각적인 속도, v는다음과 같이 정의된 매우 작은 시간 간격에 대한 속도입니다.

v = 림_{δt→→ 0} (Δ x/Δt). (3)

일정한 가속도, 즉경과된 시간으로 나눈 속도의 변화입니다.

a =(v - v 0)/(t- t - t_0). (방정식 4)

t₀ = 0을 초기 시간으로 설정하고 마지막 방정식에서 v에 대해 해결하여 시간의 함수로서 속도를 얻습니다.

v = v₀ + 에서. (방정식 5)

다음으로, 수학식 2를사용하여 시간의 함수로 위치 y를 계산합니다. y는 다음과 같이 다시 레이블이 지정됩니다.

y = y₀ + v^-t. (방정식 6)

일정한 가속에서 속도는 균일한 속도로 증가하므로 평균 속도는 초기 속도와 최종 속도 사이의 중간 정도가 됩니다.

v^- =(v₀ + v)/2. (방정식 7)

이를 방정식 6으로 대체하고 즉각적인 속도의 정의를 사용하면 y에 대한 새로운 방정식이 생깁니다.

y = y =₀ + v₀t +^2에서1/2 . (방정식 8)

t는 방정식 7을 방정식 6으로 대체하여 해결됩니다.

t = (v - v_0)/a. (방정식 9)

이 t를 방정식 6으로 대체하고 다시 수학식 7의 정의를 사용하여 y의 방정식을 변경합니다.

y = y =_y + (v + v_0)/2(v - v_0)/a= y₀ + (v 2^- v₀2)/2a. (방정식 10)

v ^2용 해결은 다음과 같은 것입니다.

v² = v₀² + 2a (y - y_0). (방정식 11)

위치, 속도, 가속 및 일정한 시간과 관련된 유용한 방정식입니다.

2d 이메니젼의 모션

이제 2 차원의 모션이 고려됩니다. 수학식 5, 7, 8및 11은 y-방향으로일반적인 운동 방정식 집합을 구성합니다. y 구성 요소를 x 구성 요소로 교체하기만 하면 2차원 x 및 y로모션으로 확장할 수 있습니다. 그림 1과같이 x축과관련하여 각도 θ에서 초기 속도 v_0으로 발사된 발사체를 고려하십시오. 그림에서, 하나는 초기 속도에 대한 x 방향구성 요소가 볼 수 있습니다, v_x,0, v₀코스(θ). 마찬가지로, y-방향으로 v_y,0 = v₀죄(θ).

T그는 입자 경험만 가속화하는 것은 네거티브 y-방향으로중력이다. 따라서 x-방향의속도는 일정합니다. y-방향의속도는 변위를 중간으로, t/2에서변위를 통과하는 중간에서 최소에 도달하며, 여기서 t는 총 시간입니다. 위의 방정식을 사용하여 방정식으로 이 2차원 모션을 설명합니다. 이 좌표 프레임에서, 원점은 (0,0)에 해당한다(x_0,y_0). x-방향으로시작

x = x₌ x 0 + v_x,0 t + 1/2 a_xt² (방정식12)

= v₀ 코스(θ)t. (방정식 13)

y-방향으로

^{y = y = y}₀ + v_y,0t + 1/2 a_y t² (방정식14)

^{= v}₀죄(θ)t - 1/2 g t^2,(방정식15)

그림 1. 2 차원의 투사체 모션. 발사체는 x-축에대하여 비스듬히 초기 속도 v_0으로 발사됩니다. 두 속도 구성 요소는 V _X및 v_y이며V = v_x +v_y.

w여기 g는 중력 가속이다. 발사체가 경로를 완료하는 데 걸리는 시간을 측정하고 각도 θ 및 초기 속도 v_0이알려지면 x 및 y-길의변위를 계산할 수 있습니다. 이 실험을 시작하기 전에 발사기의 총구 속도, 6.3 m/s가 알려져 있다. 이러한 변위 계산은 실험 결과와 비교됩니다. 유사한 절차는 θ = 0을 통해 발사체를 위쪽으로 직접 촬영하여 1 차원으로 수행할 수 있습니다.

위의 절차의 1 단계와 2 단계의 대표 결과는 표 1에나와 있습니다. 이 표는 볼이 1치와 2 차원에서 도달한 최대 높이를 기록하며, 알려진 초기 속도와 총 비행 시간을 기록합니다. 실험적으로 측정된 최대 수직 변위의 값은 수학식 15를사용하여 계산된 것과 비교되며, 그 값은 아래에서도 발견된다. 또한 표는 2차원 실험용 볼의 최대 수평 변위를 기록합니다. 이는 알려진 초기 속도와 측정된 비행 시간을 사용하여 수학식 13의 계산된 값과 비교됩니다. 이 두 결과는 매우 잘 일치하며, 이는 역학 방정식의 유효성을 검사합니다.

계산된 비행 시간(들)	계산된 y(m)	평균 측정 비행 시간(들)	평균 측정 y (m)
1.28	2.02	1.22	2.1

표 1. 계산되고 측정된 결과 한 차원이있습니다.

계산된 비행 시간(들)	계산된 y(m)	계산된 x(m)	평균 측정 비행 시간(들)	평균 측정 y (m)	평균 측정 x(m)
0.9	1.01	4.01	1.02	1.1	4

표 2. 계산되고 측정된 결과 두 차원이 생성됩니다.

운동학은 광범위한 응용 분야에서 사용됩니다. 군은 이러한 운동 방정식을 사용하여 탄도 를 발사하는 가장 좋은 방법을 결정합니다. 더 나은 정확도를 위해, 공기 저항의 드래그는 방정식에 포함되어 있습니다. 자동차 제조업체는 운동학을 사용하여 최고 속도와 정지 거리를 파악합니다. 이륙하기 위해서는 비행기가 활주로에서 떨어지기 전에 특정 속도를 달성해야 합니다. 운동학을 사용하면 특정 공항에서 이륙할 때 조종사가 얼마나 빨리 가속해야 하는지 계산할 수 있습니다.