קינמטיקה ותנועת קליעים

כל מדידה של הקינטמטיקה של אובייקט, כגון מיקום, תזוזה ומהירות, חייבת להתבצע ביחס למסגרת התייחסות כלשהי. כיוון x של צירי הקואורדינטות יתאים לכיוון האופקי, ו- y לאנכי. מקור צירי הקואורדינטות (0, 0), יוגדר כמיקום ההתחלתי של החלקיק (כאן, כדור).

תנועה בממד אחד

בואו נתחיל על ידי התחשבות בתנועה 1-ממדית של כדור על פני מרווח זמן מסוים t, המתאים למיקום y. ציין את השעה ההתחלתית כ- t₀, המתאימה למיקום y₀. עקירת הכדור, ΔY, מוגדרת כ:

Δy = y - y₀. (משוואה 1)

המהירות הממוצעת של הכדור, v^-, היא ההעתקה חלקי הזמן שחלף:

v^-= (y - y₀)/(t - t₀) = Δx/Δt.(משוואה 2)

המהירות המיידית, v, היא המהירות על פני מרווח זמן קטן מאוד, המוגדר כ:

v = lim_{Δt→→ 0} (Δx/Δt). (משוואה 3)

התאוצה הקבועה, a, היא השינוי במהירות חלקי הזמן שחלף:

a = (v - v₀)/(t - t₀). (משוואה 4)

הגדר t₀ = 0 להיות הזמן ההתחלתי ולפתור עבור v במשוואה האחרונה כדי לקבל את המהירות כפונקציה של זמן:

v = v₀ + at. (משוואה 5)

לאחר מכן, חשב את המיקום y כפונקציה של זמן באמצעות משוואה 2. y מתויג מחדש כ:

y = y₀ + v^-t. (משוואה 6)

תחת תאוצה קבועה, המהירות תגדל בקצב אחיד, כך שהמהירות הממוצעת תהיה באמצע הדרך בין המהירות ההתחלתית והאחרונה:

v^- = (v₀ + v)/2. (משוואה 7)

החלפת זה במשוואה 6 ושימוש בהגדרה של מהירות מיידית מעניקה משוואה חדשה עבור y:

y = y₀ + v₀t + 1/2^{ב- 2}. (משוואה 8)

t נפתר על-ידי החלפת משוואה 7 במשוואה 6:

t = (v - v₀)/a. (משוואה 9)

החלפת t במשוואה 6 ושוב באמצעות ההגדרה של משוואה 7 משנה שוב את המשוואה עבור y:

y = y₀ + (v + v₀)/2 (v - v₀)/a = y₀ + (v^{2 -} v₀²)/2a. (משוואה 10)

פתרון עבור v² נותן:

v² = v₀² + 2a(y - y₀). (משוואה 11)

אלה המשוואות השימושיות המתייחסות למיקום, מהירות, תאוצה וזמן כאשר קבוע.

תנועה ב-2 dimensions

עכשיו, תנועה ב-2 מימדים תילקח בחשבון. משוואות 5, 7, 8ו- 11 מהוות קבוצה כללית של משוואות קינאמטיות בכיוון y. אלה ניתן להרחיב לתנועה ב 2 ממדים, x ו Y, פשוט על ידי החלפת רכיבי y עם רכיבי x. קחו למשל קליע שהושק במהירות התחלתית v₀בזווית θ ביחס לציר x,כפי שמוצג באיור 1. מהאיור ניתן לראות שרכיב הכיוון xלמהירות ההתחלתית, v_x,0, הוא v₀cos(θ). באופן דומה, y-כיוון, v_y,0 = v₀חטא(θ).

הוארק מאיץ את חוויות החלקיקים הוא כוח המשיכה בכיוון yהשלילי. לכן, המהירות בכוון xהיא קבועה. המהירות בכיוון yמגיעה למינימום בשיא הפרבולה, באמצע ההעתקה, ב- t/2, כאשר t הוא הזמן הכולל. השתמש במשוואות לעיל כדי לתאר תנועה דו-ממדית זו עם משוואות. במסגרת קואורדינטות זו, המקור (0,0) מתאים ל- (x₀, y₀). החל מכוון x

x = x₀ + v_x,0 t + 1/2 a_x^{t 2} (משוואה12)

= v₀ cos(θ)t. (Equation 13)

בכיוון y

^{y = y}₀ + v_y,0t + 1/2 a_y t² (משוואה 14)

^{= v}₀sin(θ)t - 1/2 g t²,(משוואה 15)

איור 1. תנועת קליעים ב-2 מימדים. קליע מושק במהירות התחלתית v₀בזווית θ ביחס לציר x. שני רכיבי המהירות הם v_xו-_{v y}, כאשר V = v_x +v_y.

wכאן g הוא תאוצת הכבידה. אם מודדים את הזמן שלוקח לקליע להשלים את הנתיב שלו ואת הזווית θ ואת המהירות ההתחלתית v₀ידועים, ניתן לחשב את ההעתקה בכיווני x ו- y. לפני תחילת הניסוי הזה, מהירות הלוע של המשגר, 6.3 מ'/ש', ידועה. חישובי עקירה אלה יושוו לתוצאות הניסוי. הליך דומה יכול להיעשות בממד אחד על ידי ירי הקליע ישירות כלפי מעלה, עם θ = 0.

תוצאות מייצגות של שלבים 1 ו- 2 של ההליך לעיל מפורטות להלן בטבלה 1. טבלה זו רושמת את הגובה המרבי אליו הגיע הכדור בממדים 1 ו-2, עם מהירות התחלתית ידועה וזמן טיסה כולל. הערך של ההעתק האנכי המרבי הנמדד באופן ניסיוני מושווה לזה המחושב באמצעות משוואה 15, שערכה נמצא גם להלן. הטבלה גם רושמת את ההעתק האופקי המרבי של הכדור לניסוי הדו-ממדי. זאת בהשוואה לערך המחושב ממשוואה 13 באמצעות המהירות ההתחלתית הידועה וזמן הטיסה הנמדד. שתי התוצאות האלה תואמות היטב, מה שמאמת את המשוואות הקינטמטיות.

זמן טיסה מחושב (ים)	מחושב y (m)	זמן טיסה ממוצע נמדד (ים)	ממוצע נמדד y (מ')
1.28	2.02	1.22	2.1

טבלה 1. תוצאות מחושבות ונמדדות בממד אחד.

זמן טיסה מחושב (ים)	מחושב y (m)	מחושב x (m)	זמן טיסה ממוצע נמדד (ים)	ממוצע נמדד y (מ')	ממוצע נמדד x (m)
0.9	1.01	4.01	1.02	1.1	4

טבלה 2. תוצאות מחושבות ונמדדות בשני ממדים.

Kinematics משמש במגוון רחב של יישומים. הצבא משתמש במשוואות הקינטמטיות האלה כדי לקבוע את הדרך הטובה ביותר לשגר בליסטיקה. לקבלת דיוק טוב יותר, גרירת התנגדות האוויר כלולה במשוואות. יצרני מכוניות משתמשים בקיינמטיקה כדי להבין מהירויות גבוהות ומרחקי עצירה. כדי להמריא, מטוסים חייבים להגיע למהירות מסוימת לפני שהם נגמרים מהמסלול. עם קינמטיקה, זה אפשרי לחשב כמה מהר הטייס יצטרך להאיץ בעת ההמראה בשדה תעופה מסוים.