וקטורים בכיוונים מרובים

באיור 1 מוצג הווקטור , כמו גם את צירי x ו- yואת הזווית θ שעושה עם ציר x.

איור 1.

כדי להוסיף או להחסיר שני וקטורים, כדאי לתאר את הווקטור במונחים של רכיבי x ו- yשלו. רכיב x הוא כמות הווקטור שמצביעה בכיוון x,המיוצג מתמטית כ:

. (משוואה 1)

רכיב ה- yמיוצג כ:

. (משוואה 2)

הגודל של מוגדר להיות:

. (משוואה 3)

כדי להוסיף או להחסיר שני וקטורים, פשוט שברו את הווקטורים לרכיבי x ו- yשלהם ולאחר מכן הוסיפו או חיסרו, בהתאמה, את הרכיבים המתאימים.

לדוגמה, אם וקטור וקטור , אז התוספת של שני הווקטורים .

כדי לקבוע את הזווית ש-θ וקטור יוצר ביחס לציר x,השתמש במשוואה הבאה:

. (משוואה 4)

מכיוון שלווקטורים יש גם גודל וגם כיוון, הכפלת שני וקטורים אינה פשוטה כמו הכפלת שני מספרים. ישנן שתי דרכים להכפיל וקטורים: מכפלת הנקודות והמכפלה הצולבת. ניתן לכתוב את מוצר הנקודה כ- או כאן, הזווית בין שני הווקטורים. לתוצאה יש רק סדר גודל, ולא כיוון. יישום של מכפלת הנקודות בפיזיקה הוא עבודה (W), שבה העבודה מוגדרת ככוח כפול מרחק ניתן לכתוב את המכפלה הצולבת של שני וקטורים כמו אמנם דומה למכפלת הנקודה, והמכפלה הצולבת מכילה את המונח , המוגדר כווקטור עם גודל 1 המאונך לשני הווקטורים ו . התוצאה של המכפלה הצולבת היא וקטור. דוגמה אחת של המכפלה הצולבת בפיזיקה היא מומנט , שהוא תוצאה של כוח כפול רדיוס

וקטורים שימושיים בפיזיקה מכיוון שכוחות כמו כוח המשיכה או החיכוך יכולים להיות מיוצגים כווקטורים. במעבדה זו, כוח הכבידה משמש להדגמת האופי הווקטורי של הכוחות וכיצד כוחות אלה מוסיפים בכיוונים מרובים. כוח הכבידה על פני כדור הארץ כתוב כ:

,(משוואה 5)

היכן מסת העצם, בעוד האצת הכבידה ליד פני כדור הארץ (9.8 מ'/ש'^2).

תוצאות המעבדה מוצגות בטבלה 1 ובטבלה 2.

טבלה 1. ההתקנה.

ההתקנה #	A		B
	מסה	פינה	מסה	פינה
1	100	0	100	20
2	100	0	150	40
3	200	0	150	60
4	200	0	250	80

טבלה 2. תוצאות אנליטיות.

ההתקנה #	גודל (נ)	גודל (נ)	פינה (°)	גודל (נ)	פינה (°)
1	0.98	0.98	20	1.93	10
2	0.98	1.47	40	2.31	24
3	1.96	1.47	60	2.98	25
4	1.96	2.45	80	3.39	45

טבלה 3. תוצאות ניסוי.

ההתקנה #	סדר גודל ניסיוני (נ)	סדר גודל אנליטי (נ)	הבדל (%)	זווית ניסיונית (°)	זווית אנליטית (°)	הבדל (%)
1	2.1	1.93	9	11	10	10
2	2.2	2.31	5	26	24	8
3	2.8	2.98	6	28	25	12
4	3.5	3.39	3	43	45	5

תוצאות הניסוי עולות בהסכמה עם החישובים האנליטיים. ניתן לחשב את הסכום של שני וקטורים ואת הזווית ביניהם באמצעות משוואות 1-5. המשוואות תקפות לביצוע חישובים של וקטורים פיזיים, כגון כוח.

שחקן חוץ בבייסבול צריך להבין וקטורים כדי לתפוס כדור בתנועה. אם שחקן החוץ רק ידע את מהירות הכדור, הוא היה רץ למגרש השמאלי במקום ימינה ומפספס את הכדור. אם הוא רק היה יודע את כיוון הפגיעה, הוא היה יכול להסתער פנימה, רק כדי לראות את הכדור מפליג מעל ראשו. אם הוא מבין וקטורים, אז ברגע שהכדור נפגע, הוא יכול לשקול גם את הגודל וגם את הכיוון כדי להעריך איפה הכדור הולך להיות כשהוא תופס.

כאשר מטוס נמצא בשמיים, המהירות והכיוון שלו יכולים להיכתב כווקטור. כאשר יש רוח כבדה, וקטור הרוח מוסיף לווקטור של המישור כדי לתת את וקטור המערכת המתקבל. לדוגמה, אם מטוס טס לתוך הרוח, הגודל של הווקטור המתקבל יהיה קטן מהגודל ההתחלתי. זה מתאים למטוס נע לאט יותר כאשר הוא פונה אל הרוח, וזה הגיוני אינטואיטיבית.

כאשר שני עצמים מתנגשים ונדבקים זה בזה, ניתן להעריך את התנע הסופי שלהם (וקטור) כסכום של שני וקטורי התנע ההתחלתיים. זהו פישוט, כמו בעולם האמיתי, לשני עצמים מתנגשים יש גורמים נוספים לשקול, כמו חום או עיוות מההתנגשות. מומנטום הוא רק המסה של עצם כפול המהירות שלו. אם שני מחליקים על קרח נעים בכיוונים שונים ובמהירויות שונות מתנגשים ונאחזים זה בזה, ניתן להעריך את הכיוון והמהירות הסופיים שלהם בהתבסס על הרכיבים הווקטוריים הראשוניים שלהם.

בניסוי זה, האופי הווקטורי של הכוחות נבדק ונמדד. וקטורים נוספו יחד, והגודל והכיוון הנובעים מכך נקבעו הן מבחינה אנליטית והן מבחינה ניסיונית.