Legge di gravitazione universale di Newton

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

La leggenda narra che Isaac Newton vide una mela cadere da un albero. Notò l'accelerazione della mela e dedusse che doveva esserci stata una forza che agiva sulla mela. Ha poi ipotizzato che se la gravità può agire in cima all'albero, può anche agire a distanze ancora maggiori. Osservò il moto della luna e le orbite dei pianeti e alla fine formulò la legge universale di gravitazione. La legge afferma che ogni particella nell'universo attrae ogni altra particella con una forza proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro. Questa forza agisce lungo la linea che unisce le due particelle.

L'accelerazione gravitazionale g, che è l'accelerazione che un oggetto sulla superficie della Terra sperimenta a causa della forza gravitazionale della Terra, sarà misurata in questo laboratorio. Conoscere con precisione questo valore è estremamente importante, in quanto descrive l'entità della forza gravitazionale su un oggetto sulla superficie della Terra.

La forza gravitazionale F tra due masse m₁e m₂, con i loro centri di massa separati da una distanza r, può essere scritta come:

F = Gm₁ m_{2/ r}² r^{^}, (Equazione 1)

dove sono^{^} denota che la direzione della forza è puntata radialmente verso l'interno. La seguente descrizione indagherà la forza gravitazionale tra la Terra e un oggetto di massa m sulla sua superficie. Usando la seconda legge di Newton, F = m a, la forza sulla massa m dovuta alla gravità terrestre può essere scritta come:

ma = Gm m_E / r² r^{^}, (Equazione 2)

dove G è una costante universale di proporzionalità che è stata misurata sperimentalmente e m_E è la massa della Terra. In questo contesto, il vettore di accelerazione è tipicamente indicato come uno scalare g, con una direzione implicita che punta radialmente verso l'interno, verso il centro della Terra. Per le persone in piedi a terra, questa direzione è semplicemente indicata come "giù". Annullamento della massa m su entrambi i lati dell'equazione; sostituendo g con a; e notando che la distanza tra i centri di massa degli oggetti è solo il raggio della Terra, r_E, la grandezza della forza verso il basso può essere riscritta come:

g = G m_E / r²_E. (Equazione 3)

Nel famoso esempio della mela che cade da un albero, la Terra sta esercitando una forza sulla mela per farla cadere, e la mela sta esercitando una forza uguale e opposta sulla terra, data dall'equazione 1. La ragione per cui la Terra non è essenzialmente influenzata dalla forza della mela sulla Terra è che la massa della Terra è molto più grande di quella della mela. Per gli oggetti più grandi, è necessaria una forza maggiore per farli accelerare. Così, la mela cade verso la Terra, non la Terra verso la mela. Allo stesso modo, per le persone in piedi a terra, la Terra sta esercitando una forza ancora più grande su di loro che sulla mela. Il popolo esercita una forza uguale e opposta sulla Terra. Ancora una volta, poiché la Terra è molto più massiccia di una persona, la forza gravitazionale che una persona, o anche molte persone, esercitano sulla Terra passa essenzialmente inosservata.

Questo laboratorio dimostrerà come misurare l'accelerazione g, data nell'equazione 3. Poiché tutte le quantità sul lato destro di questa equazione sono note, il valore misurato di g può essere confrontato con il loro prodotto. I valori per g e G sono noti dagli esperimenti per essere 9,8 m/s² e 6,67 x 10^-11 Nm²/kg².

Per questo laboratorio, verrà lasciata cadere una palla e verrà misurato il tempo necessario alla palla per percorrere una distanza nota. Dalla cinematica, la distanza y può essere scritta come:

y = y₀ + v₀t + 1/2 a t². (Equazione 4)

Se la palla viene lasciata cadere dal riposo e l'accelerazione a è solo l'accelerazione gravitazionale, questa diventa:

y-y₀ = 1/2 g t². (Equazione 5)

Equivalentemente:

g = 2d / t², (Equazione 6)

dove d = y - y₀ è la distanza totale percorsa. G sarà ora determinato sperimentalmente.

1. Misurare l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre.

1. Ottieni una palla, un bastone da metro, due cancelli di cronometraggio e tre morsetti.
2. Utilizzare un morsetto per fissare il bastone del misuratore a un tavolo o un'altra superficie robusta leggermente da terra.
3. Utilizzare gli altri due morsetti per collegare i cancelli di distribuzione alla parte superiore e inferiore del bastone del misuratore. Assicurarsi che ogni sensore sia allineato con l'estremità della levetta del misuratore. In questo modo, d è noto per essere 1 m nell'equazione 6.
4. Una volta verificato che i cancelli di cronometraggio funzionano correttamente, lascia cadere la palla attraverso i due cancelli di cronometraggio e registra l'ora. Assicurati che la palla sia caduta dal riposo; in caso contrario, l'equazione 6 non è più valida.
5. Ripetere il passaggio 1.4 cinque volte e prendere il tempo medio.
6. Utilizzare il valore medio di t per calcolare g. Confronta questo con il valore ottenuto quando usi la massa e il raggio della Terra nell'equazione 3.

Il valore di g misurato dalla procedura sperimentale è mostrato nella Tabella 1. Il tempo di caduta libera dal passo 1.4 è registrato nella prima colonna della Tabella 1. Il valore misurato di g viene quindi calcolato utilizzando l'equazione 6. L'accuratezza di questo valore può essere verificata confrontandolo con il valore di g calcolato dall'equazione 3 utilizzando i seguenti valori: G = 6,67 x^{10 -11} m³kg^-1s^-2, m_E = 5,98 x 10²⁴ kg e r_E = 6,38 x 10³ km. Questo confronto è mostrato anche nella Tabella 1 con una differenza percentuale. La differenza percentuale è calcolata come:

| valore misurato - valore atteso | / valore atteso. (Equazione 7)

Una bassa differenza percentuale indica che la legge di gravitazione universale di Newton è un'ottima descrizione della gravità.

Tabella 1. Risultati.

Tempo di caduta libera (s)	Misurato g	Calcolato g	Differenza %
0.45	9.88	9.79	0.9

Il ramo della meccanica che si occupa dell'analisi delle forze su oggetti che non si muovono è chiamato statica. Gli ingegneri che costruiscono edifici e ponti utilizzano la statica per analizzare i carichi sulle strutture. L'equazione F = mg viene utilizzata in questo campo, quindi una misurazione accurata di g è estremamente importante in questo caso. La legge di gravitazione universale di Newton è usata dalla NASA per esplorare il sistema solare. Quando inviano sonde su Marte e oltre, usano la legge universale di gravitazione per calcolare le traiettorie dei veicoli spaziali con un livello di precisione molto elevato. Alcuni scienziati sono interessati a fare esperimenti in ambienti a gravità zero. Per raggiungere questo obiettivo, gli astronauti sulla Stazione Spaziale Internazionale eseguono esperimenti per loro. La stazione spaziale si trova in un'orbita stabile attorno alla Terra a causa della nostra comprensione della legge universale di gravitazione.

In questo esperimento, è stata misurata l'accelerazione gravitazionale di un oggetto sulla superficie della Terra. Usando una palla con due cancelli di cronometraggio attaccati a un bastone del metro, è stato misurato il tempo necessario alla palla per viaggiare a 1 m dal riposo. Usando equazioni cinematiche, l'accelerazione g è stata calcolata e si è trovata molto vicina al valore accettato di 9,8 m/s².