מדידות של שימור המוני וקצב זרימה

עוצמת בקרה (CV) מוגדרת על ידי משטח סגור דמיוני, המכונה משטח הבקרה (CS), המוגדר באופן שרירותי כדי ללמוד את מאזן המסה במערכת. איור 1A מציג דוגמה לאמצעי אחסון בקרה המכיל אזור זרימה העובר במעבר זרימה. פרטי הזרימה במעבר אינם רלוונטיים מכיוון שאנו מעוניינים רק להשיג אמצעים של תזרים המסה, היציאה וקצב השינוי שלה בתוך מעבר הזרימה. ניתן לסכם את כל ההשפעות הללו במשוואה לשימור המסה בצורה אינטגרלית [1, 2]:

(1)

המונח הראשון בצד ימין של המשוואה (1) מייצג את קצב שינוי המסה בתוך נפח הבקרה, בעוד המונח השני מייצג את שטף המסה נטו דרך משטח הבקרה. ההבדל הווקטורי הוא המהירות היחסית בין קורות החיים לזרימה, והווקטור הוא היחידה הנורמלית כלפי חוץ להפרש האזור. מכפלת הנקודות בין המהירות היחסית מייצגת את רכיב המהירות שחוצה את ה-CS, ומכאן ואילך תורמת לחילופי המסה. הסימן של מוצר נקודה זה הוא שלילי שבו שטף המסה מופנה לקופות העיר וחיוביים שם הוא מופנה הרחק מהקו.וי.

איור 1. Schematic של תצורה בסיסית. (א) צריכה חלקה למאוורר צנטריפוגלי. אמצעי האחסון של הפקד מוגדר כפרופיל הפנימי של המעבר. הקירות המוצקים אינם נכללים בנפח הבקרה אך תנאי הגבול שלהם נשמרים במשטח הבקרה (כלומר אין חדירה וללא החלקה). יציאה 1 מוגדרת כצד הכניסה של המעבר, ואילו יציאה 2 מוגדרת כמישור חתך החצוב התואם את קצה צינור הפיתות. הזרימה עוברת משמאל לימין. (ב) מערכת פיטו-סטטית וסכימהc של מערכת רכישת נתונים. אנא לחץ כאן כדי להציג גירסה גדולה יותר של איור זה.

להדגמה הנוכחית, יש לנו את התצורות המוצגות באיור 1A, שבו קורות קורות בית קבועים עוקבים אחר קווי המתאר של התכווצות חלקה בצריכת מאוורר צנטריפוגלי. הזרימה דרך קורות מים אלה יציבה, ולכן קצב השינוי של המסה בתוך נפח הבקרה הוא אפס. לפיכך, המונח הראשון בצד ימין של המשוואה (1) נעלם. כמו כן, קורות העיר מחוברים להתכווצות, הקבועה בחלל ואין לה מהירות, מה שהופך . לכן, השטף נטו של מסה דרך קורות מעגל אלה הוא אפס ומשוואה (1) מפשטת ל:

(2)

בהתחשב בתצורה באיור 1A, המסה זורמת לקורת העיר דרך יציאה 1 ומשאירה את קורות העיר דרך יציאה 2. כתוצאה מכך, ניתן לחלק את אינטגרל פני השטח בצד ימין של המשוואה (2) לשני אינטגרלים עצמאיים, אחד לכל יציאה. הסימן של מוצר הנקודה הוא שלילי ביציאה 1 מכיוון שהזרימה הולכת לכיוון קורות העיר, וחיובית ביציאה 2 מכיוון שהזרימה מתרחקת מהקו.ר. מבלי להניח שהמהירות מופצת באופן הומוגני בכל אחת מהיציאות, הבה נעשה ופרופילי המהירות המתאימים לוקחים בחשבון כי שניהם הם מה שנשאר לאחר נטילת מוצר הנקודה. כלומר, הגודל של רכיב המהירות במקביל לווקטור האזור, . לבסוף, שינויי לחץ לאורך ההתכווצות אינם משמעותיים מספיק כדי לגרום לשינויים נצפים בצפיפות. מעתה ואילך, אנו יכולים לשקול את הצפיפות כקבועה. בנסיבות אלה, המשוואה (2) תפשט את:

(3)

שים לב כי, מאז המסה נשמרת, שטף המסה, , זהה דרך שתי היציאות. בהתחשב במבנה היחסים האלה, כל אינטגרל במשוואה (3) מבטא את קצב הזרימה הנפחית, באמצעות היציאה המתאימה לו, עובדה זו מסייעת להגדיר את המהירות הממוצעת, עבור יציאה נתונה:

(4)

בתנאים בלתי רצויים, המהירות ביציאה 2 יכולה לבוא לידי ביטוי במונחים של התנאים שמחוץ לצריכה באמצעות משוואת ברנולי לאורך ההתייעלות המרכזית (ראו איור 1A לעיון):

(5)

כאן, ההשפעה של גובה נעלמת על ההתייעלות המרכזית כי זה אופקי, והוא זניח בייעולים אחרים כי הנוזל הוא אוויר, אשר יש משקל ספציפי קטן מאוד. כמו כן, הנקודה הראשונית בהייעלות המרכזית רחוקה מספיק מהחזית שהמהירות שלה היא אפס. בהתחשב בכך שהמשוואה (5) מיועדת למארז האידיאלי, ערך זה של מהירות יהיה זהה בכל רחבי יציאה 2. במציאות, צמיחת שכבת הגבול משפיעה על פרופיל המהירות והופכת אותו ללא הומוגני. כדי להסביר את האפקט הזה, ההערכה האידיאלית מושוות למדידות ניסיוניות באמצעות "מקדם הפריקה". מקדם זה מוגדר כיחס בין המהירות הממוצעת הנמדדת לבין המהירות הנצנצת עבור חתך נתון של הזרימה:

(6)

מקדם הפריקה, תלוי בגיאומטריה ובמספר ריינולדס. לאחר שנקבע, ניתן להשתמש בשילוב עם משוואות (4) ו- (5) כדי לקבוע את קצב הזרימה על פני יציאה 2 בהתבסס על שטח חתך שלה ודיפרנציאל לחץ קל למדידה:

(7)

בעת הצבת משוואות (4), (5) ו- (6) יחד, ובהתחשב בכך שיציאת 2 היא מעגלית, אנו משיגים את הקשר הבא עבור :

(8)

ברור מהמשוואה (8) כי הידע של פרופיל המהירות נחוץ כדי לקבל את מקדם הפריקה. כדי לכך, נשתמש בוולו-סימטריה על ידי פיטו - בדיקות סטטיות. כפי שמוצג באיור 1B, צינור הפיתות מביא את הזרימה לעצירה של חישת הלחץ הכולל, שהוא תוספת של הלחצים הסטטיים והדינמיים בנקודה נתונה. מצד שני, הגשושית הסטטית בקיר חשה בלחץ הסטטי בלבד. מהמשוואה של ברנולי שהופעלה בעמדה רדיאלית נתונה, הלחץ המוחלט הוא רק הקבוע של ברנולי. ביציאה 2, עיקרון זה יכול לבוא לידי ביטוי על-ידי הקשר הבא בעמדה רדיאלית שרירותית:

(9)

כאן, אנו מזניחים את ההשפעה של מיקום אנכי מכיוון שמעבר הזרימה שלנו אופקי. לסיכום, ניתן להשיג את הקשר הבא עבור גודל המהירות במיקום נתון 'r' בתוך הצינור:

(10)

הפרש הלחץ נמדד ישירות על ידי מתמר הלחץ המתואר באיור 1B, ופרופיל המהירות מתקבל על ידי חציית צינור הפיתות לאורך הקואורדינטות הרדיאליות של הצינור. שים לב כי מדידות מהירות אלה מתבצעות במיקומים נפרדים, ולכן יש להשתמש בנקודות נתונים אלה כדי לפתור את האינטגרל במשוואה (8) מבחינה מספרית באמצעות שלט הטרפז או של הסימפסון [1]. לאחר קבלת הערך של אינטגרל זה, יש לחבר אותו למשוואה (8) יחד עם הערך הנמדד של , הצפיפות, ואת רדיוס הצינור, כדי לקבל את הערך של עבור תנאי זרימה מסוים זה. עם החזרה על ניסוי זה לתנאי זרימה שונים, נקבל חלקת פיזור שיכולה לשמש לקביעת קשר בין ו . לאחר מכן ניתן להחליף קשר גומלין זה במשוואה (7) כדי לקבוע באופן מלא את קצב הזרימה, כפונקציה של בלבד .

להגבלה נתונה של הזרימה בפריקה של המאוורר, איור 3A מציג את מידות הלחץ הדינמי במיקומים רדיאליים שונים בתוך הצינור לאחר חציית צינור הפיתות. ערכים אלה שימשו לקביעת המהירות המקומית במיקומים רדיאליים אלה, והתוצאות מוצגות באיור 3B. לאחר שימוש בכלל הטרפז בנתונים אלה כדי לפתור משוואה (4) עבור המהירות הממוצעת, השגנו ערך של m/s. מצד שני, הערך של מתוך טבלה 1 שימש לקביעת המהירות האידיאלית מהמשוואה (5): m/s. לפיכך, מקדם הפריקה עבור מצב זרימה זה הוא: . ערך זה מוצג באיור 4 כמשולש אדום.

לאחר שחזרנו על הניסוי הזה עשרים ותשע פעמים נוספות, השגנו את עלילת הפיזור המוצגת באיור 4. נתונים אלה יכולים להיות מיוצגים היטב על ידי חוק צריכת החשמל של :

(11)

הסיבה לבחירה זו של טיעון היא לוודא כי הקבוע המוביל נשאר ללא ממד, ולכן מתאם זה עדיין יהיה תקף ללא קשר למערכת היחידות המשמשות ללחץ. ניתן להחליף פונקציה זו במשוואה (7) כדי להשיג את קצב הזרימה כפונקציה של :

(12)

כאן, כל הקבועים של משוואות (7) ו (11) חוברו לקובוע יחיד ללא ממד: . כתוצאה מכך, המשוואה (12) חוקית עבור כל מערכת של יחידות כל עוד המשתנים מוקצים באופן עקבי את היחידות המתאימות. לנוחות, הצפיפות מהמשוואה (7) באה לידי ביטוי מבחינת הלחץ האטמוספרי והטמפרטורה המוחלטת באמצעות חוק הגז האידיאלי. משוואה (12) תקפה עבור תנאים אטמוספריים שונים כפי שהוא מסביר שינויים בלחץ המקומי וטמפרטורה (T ו- P_atm). כמו כן, כל עוד נשמר הדמיון הגיאומטרי, משוואה זו תהיה תקפה למעברים בגדלים שונים כפי שניתן להסביר ברדיוס R.

איור 4. תוצאות מייצגות. מקדמי פריקה נקבעים בקצבי זרימה שונים.: מקדם הפריקה שנקבע עם מדידות המהירות המודגמות כאן. - : חוק החשמל המותאם לנתונים הניסיוניים.

איור 6. תוצאות מייצגות. התוויית המוצר בין מהירות לרדיוס.

טבלה 3. תוצאות מייצגות. מקדם פריקה.

√ (1-P2/P* * *	Cd
0.019	0.735
0.020	0.761
0.025	0.795
0.026	0.808
0.029	0.826
0.032	0.835
0.039	0.855
0.041	0.862
0.042	0.873
0.044	0.880
0.047	0.891
0.049	0.899
0.049	0.917
0.050	0.924
0.050	0.903
0.051	0.909
0.052	0.927
0.053	0.917
0.054	0.926
0.054	0.935
0.055	0.924
0.056	0.940
0.060	0.953
0.063	0.967
0.064	0.972
0.065	0.975
0.066	0.977
0.067	0.983
0.069	0.985

הדגמנו את היישום של ניתוח נפח בקרה של שימור המסה לכייל מעבר זרימה ומד זרימה. לכך הדגמנו את השימוש במערכת פיטו-סטטית כדי לקבוע את קצב הזרימה לאורך מעבר הזרימה באמצעות שילוב מעל פרופיל המהירות. לאחר מכן, הרעיון של מקדם פריקה שולב כדי להסביר את ההשפעה של צמיחת שכבת גבול ליד קירות מעבר הזרימה. בהתבסס על קבוצה של מדידות מהירות עבור קצבי זרימה שונים, פיתחנו רגרסיה המבטאת את מקדם הפריקה כפונקציה של היחס בין הלחץ הסטטי במעבר הזרימה לבין הלחץ האטמוספרי המקומי, . לבסוף, רגרסיה זו שולבה במשוואה עבור קצב הזרימה דרך המעבר כפונקציה של . משוואה זו פותחה כדי לשמור על תוקפה תחת שינויים בתנאים אטמוספריים מקומיים, גודל המעבר ומערכת היחידה.

ניתוח נפח בקרה לשימור המוני מציע חלופות רבות לכיול מעברי זרימה כמטרי זרימה. לדוגמה, לוחות מחוררים, חרירים וצינורות ונטורי משמשים בזרימות מוגבלות כדי לקבוע את קצב הזרימה בהתבסס על שינויי לחץ בין שני חלקים שונים של המעבר. ובדומה לדוגמה שלנו, מכשירים אלה צריכים להיות מאופיינים עם מקדם פריקה שמתקן עבור אפקטים שכבת גבול.

בזרימה בערוצים פתוחים, ניתוח נפח בקרה לשימור המוני יכול לשמש גם להערכת קצב הזרימה על ידי השוואת עומק הזרימה לפני ואחרי הגבלות זרימה כגון נזילות, שערים פתוחים חלקית או הפחתות חתך. המשמעות העיקרית של יישומים אלה היא כי מבנים הידראוליים לחלוקת מים, שליטה וטיפול הם בקנה מידה גדול מאוד שימנע את השימוש בהתקני זרימה אחרים.