质量守恒和流速测量

控制容积 (CV) 由假想的闭合表面定义, 被称为控制面 (CS), 任意定义以研究系统中的质量平衡。图1A 显示了一个控制卷的例子, 其中包含一个流经流通道的流区域。在通道中的流量的细节是不相干的, 因为我们只是有兴趣获得的质量流入, 流出, 其变化率的流量通道内的措施。所有这些作用可以总结在等式为质量守恒在缺一不可的形式 [1, 2]:

(1)

第一个术语在等式的右手边 (1) 代表质量变动率在控制容量之内, 而第二个期限代表净通量通过控制表面。向量差异是 CV 和流之间的相对速度, 向量是该区域差异的向外正常的单位. 相对速度和之间的点积表示跨越 CS 的速度分量, 从而有助于进行质量交换. 这个点产品的标志是负的, 当质量通量被引导入 cv 和正面, 它被指挥从 cv。

图1。Sc基本配置的血。(a) 离心风机的平稳进气。控制音量被定义为段落的内部轮廓。实体壁从控制卷中排除, 但其边界条件保存在控制曲面中 (即不穿透和无滑动)。端口1被定义为通道的入口侧, 而端口2定义为与托管管的顶端重合的横截面平面。流从左向右。(B) schemati 静态系统和数据获取系统的 c.请单击此处查看此图的较大版本.

对于目前的演示, 我们有图1A 所示的配置, 其中固定 CV 遵循的轮廓, 作为平稳收缩在进气口离心风扇。通过该 CV 的流量是稳定的, 因此在控制容积内的质量变化率为零。因此, 在等式 (1) 右手边的第一个术语消失了。此外, CV 附加到收缩, 这是固定在空间和没有速度, 使. 因此, 通过这个 CV 的质量净流量为零, 而等式 (1) 简化为:

(2)

考虑到图1A 中的配置, 质量在端口1中流入 cv, 并在端口2中留下 cv。因此, 方程 (2) 右侧的表面积分可以分为两个独立的积分, 一个用于每个端口。在端口1中, 点积的符号为负, 因为流流向 cv, 在端口2中为正值, 因为流量从 cv 中消失。假设速度在任一端口均是均匀分布的, 则让我们使和各自的速度配置文件考虑到两者都是在取点积后留下的东西. 即, 速度分量与区域向量平行的大小,. 最后, 沿收缩的压力变化并不显著, 足以诱发密度的可观测变化。从今往后, 我们可以把密度看成常数。在这种情况下, 等式 (2) 将简化为:

(3)

请注意, 由于质量是守恒的, 因此质量通量 () 在两个端口上是相同的. 考虑到这些关系的结构, 等式 (3) 中的每个积分都通过其对应的端口表示容积流速, 这一事实有助于定义给定端口的平均速度 ():

(4)

在无粘的条件下, 2 端口的速度可以用伯努利方程沿中心流线的进气条件来表示 (参见图 1A):

(5)

在这里, 高度的影响在中央流线上消失了, 因为它是水平的, 在其他流线上是微不足道的, 因为流体是空气, 它有非常小的比重。此外, 中央流线上的初始点离入口很远, 其速度为零。考虑到等式 (5) 是理想化的无粘的情况, 这个速度的值将是相同的整个端口2。在实际中, 边界层的生长影响速度剖面, 使其不均匀。考虑到这一效果, 将理想的估计值与通过 "放电系数" 进行的实验测量进行比较。该系数定义为流的给定截面的测量平均速度和无粘速度之间的比值:

(6)

放电系数,, 取决于几何和雷诺数. 一旦确定, 可与公式 (4) 和 (5) 结合使用, 以确定基于其横截面面积和易于测量的压力差的端口2的流速:

(7)

在将等式 (4)、(5) 和 (6) 放在一起时, 并考虑到端口2是循环的, 我们获得以下关系:

(8)

从方程 (8) 可以清楚地看出, 速度剖面的知识是获得放电系数所必需的。为此, 我们将使用测速仪的皮托管静态探头。如图1B 所示, 皮托管管带来的流量, 以停止传感总压力,, 这是增加了静态和动态压力在一个给定的点.另一方面, 在墙上的静态探头只感觉到静压。从伯努利方程应用于给定的径向位置, 总压强只是伯努利常数。在端口 2, 这一原则可以通过以下关系在任意径向位置表示:

(9)

在这里, 我们忽略了垂直位置的影响, 因为我们的流动通道是水平的。总之, 在管道内给定位置 "r" 的速度的大小, 你得到以下关系:

(10)

压力差由图1B 中所示的压力传感器直接测量, 通过沿管的径向坐标遍历托管管来获得速度剖面. 请注意, 这些速度测量是在离散位置进行的, 因此, 这些数据点应用于解决方程 (8) 中的积分, 使用梯形或辛普森的规则 [1]。一旦得到这个积分的值 , 它应该入到等式 ( 8 ) 连同测量值的 , 密度和管道的半径 , 以获得该特定的流条件的值 . 在对不同的流条件重复此实验后, 我们将获得一个散点图, 可用于确定和之间的关系. 然后, 可以在公式 (7) 中替换此关系, 以完全确定流率作为单独的函数.

对于在风扇放电时的流量的给定限制,图 3A显示在与托管管进行遍历后, 管道内不同径向位置的动态压力 () 的测量.这些值用于确定这些径向位置的局部速度, 结果显示在图 3B中。在使用这些数据的梯形规则来求解平均速度的方程 (4) 后, 我们得到了一个 m/s 的值. 另一方面, 表1中的值用于确定公式 (5) 的理想速度: 米/秒. 因此, 此流条件的放电系数为:. 此值在图 4中显示为红色三角形。

在重复这个实验二十九次之后, 我们获得了图 4中显示的散点图。的幂定律可以很好地表示此数据:

(11)

之所以选择这种论点, 是为了确保前导常数保持不变, 因此, 无论压力单位的系统如何, 这种相关性仍然有效。此函数可在公式 (7) 中替代, 以获取流率作为的函数:

(12)

在这里, 所有的等式 (7) 和 (11) 的常数被集中到一个单一的无量纲常数:.因此, 方程 (12) 对于任何单位的系统都是有效的, 只要变量被一致地分配给相应的单位。为了方便起见, 利用理想气体定律, 从大气压和绝对温度的角度来表达方程 (7) 的密度。方程 (12) 对于不同的大气条件是有效的, 因为它解释了局部压力和温度的变化 (T和P_atm)。并且, 只要几何相似性被保守, 这个等式对不同大小的段落是有效的由半径R.

图4。代表结果.: 在不同流速下确定的放电系数. : 根据此处演示的速度测量确定的放电系数.-: 适用于实验数据的幂定律.

图 6.代表性结果。产品在速度和半径之间的图形.

表3。代表性的结果。放电系数。

√ (1-p2/patm )	Cd
0.019	0.735
0.020	0.761
0.025	0.795
0.026	0.808
0.029	0.826
0.032	0.835
0.039	0.855
0.041	0.862
0.042	0.873
0.044	0.880
0.047	0.891
0.049	0.899
0.049	0.917
0.050	0.924
0.050	0.903
0.051	0.909
0.052	0.927
0.053	0.917
0.054	0.926
0.054	0.935
0.055	0.924
0.056	0.940
0.060	0.953
0.063	0.967
0.064	0.972
0.065	0.975
0.066	0.977
0.067	0.983
0.069	0.985

我们演示了控制体积分析的应用质量守恒, 以校准流量通道作为流量计。为此, 我们展示了使用一个皮托管系统, 以确定流量通道的流速通过集成的速度剖面。然后, 引入了流量系数的概念, 考虑了边界层生长对流道壁附近的影响。根据一组不同流速的速度测量, 我们开发了一种回归, 它将流量系数表示为流道静压与局部大气压比值的函数,.最后, 这种回归被合并成一个等式为流动率通过段落作为一个函数.该方程的发展, 以保持其有效性的变化, 在当地大气条件, 通道大小, 和单位系统。

控制容积分析为大规模保护提供了许多选择, 以校准流量通道作为流量计。例如, 穿孔板、喷嘴和文丘里管在密闭流中使用, 以根据通道的两个不同部分的压力变化来确定流速。与我们的例子相似, 这些器件需要具有一个能校正边界层效应的放电系数。

在通过明渠流动时, 质量守恒的控制容积分析也可以通过比较流量限制 (如溢洪道、部分打开的闸门或截面的减少) 前后的流量的深度来评估流量。这些应用的主要意义是, 水的分配, 控制和处理的水力结构是非常大的规模, 将排除其他流动装置的使用。