Massenerhaltung und Durchflussmessungen

Quelle: Ricardo Mejia-Alvarez und Hussam Hikmat Jabbar, Department of Mechanical Engineering, Michigan State University, East Lansing, MI

Dieses Experiment soll die Kalibrierung von einem Strömungskanal als ein Durchflussmesser mit einer Kontrolle Volumen (CV) Formulierung [1, 2] veranschaulicht. Die CV-Analyse konzentriert sich auf die makroskopische Wirkung des Flusses auf engineering-Systeme, anstatt die ausführliche Beschreibung, die mit einer detaillierten Analyse der differentiellen erreicht werden konnte. Diese beiden Techniken komplementäre Ansätze zu berücksichtigen wie die CV-Analyse dem Ingenieur eine erste Grundlage auf welcher Route verfolgen, wenn Sie eine Flow-System entwerfen geben wird. Im großen und ganzen eine CV-Analyse wird dem Ingenieur einen Eindruck von den dominierenden Masse Austausch in einem System und sollte im Idealfall der erste Schritt, bevor Sie verfolgen keine Ausführungsplanung oder Analyse über differentielle Formulierung.

Das Grundprinzip hinter der CV-Formulierung für Massenerhaltung ist, die Details des Flow-System durch eine vereinfachte Volumen eingeschlossen in Bedienoberfläche (CS sogenannten) zu ersetzen. Dieses Konzept ist imaginär und kann frei definiert werden, um die Analyse geschickt zu vereinfachen. Zum Beispiel sollten die CS "Einlass und Auslass Häfen in eine Richtung senkrecht zur dominanten Geschwindigkeit geschnitten". Dann bestünde die Analyse zu finden, die Balance zwischen den net Massenstrom durch die CS und die Änderungsgeschwindigkeit der Masse im Inneren der CV. Diese Technik wird bei der Kalibrierung einer glatten Kontraktion als ein Durchflussmesser nachgewiesen werden.

Ein Steuervolumen (CV) ist definiert durch eine imaginäre geschlossene Oberfläche, genannt die Steuerfläche (CS), willkürlich definiert, um das Gleichgewicht der Masse in einem System zu studieren. Abbildung 1A zeigt beispielhaft ein Steuervolumen enthält eine Region der Fluss durch einen Strömungskanal. Die Details der Strömung in der Passage sind irrelevant, da wir lediglich an Maßnahmen der Masse Zufluss, Abfluss und die Änderungsrate in den Strömungskanal interessiert sind. Alle diese Effekte können in der Gleichung für die Erhaltung der Masse in fester Form [1, 2] zusammengefasst werden:

(1)

Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (1) stellt die Änderungsgeschwindigkeit der Masse im Inneren der Lautstärke während der zweite Amtszeit den net Fluss der Masse durch die Steuerfläche. Der Vektor Unterschied ist die relative Geschwindigkeit zwischen den Lebenslauf und die Strömung und der Vektor ist die Einheit nach außen normal zum Bereich differential. Das Skalarprodukt zwischen der Relativgeschwindigkeit und steht für die Velocity-Komponente, die überquert die CS, und von nun an trägt zum Austausch von Masse. Die Zeichen dieses Skalarprodukt ist negativ, wo der Massenstrom gerichtet ist, in die CV und Positive wo es Weg die CV gerichtet.

Abbildung 1: SChematische Grundausstattung. (A) reibungslose Aufnahme für einen Radialventilator. Die Lautstärke ist definiert als das innere Profil der Passage. Die massiven Mauern sind ausgeschlossen von der Lautstärke, aber ihre Randbedingungen befinden sich in der Bedienoberfläche (d. h. kein Eindringen und kein Schlupf). Port 1 ist definiert als die Eingangsseite der Passage, während Port 2 ist definiert als die Querschnittsebene, die mit der Spitze des Staurohr übereinstimmt. Fließt von links nach rechts. (B) Pitot-Statik-System und Schematic des Datenerfassungssystems. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.

Für die vorliegende Demo haben wir die Konfigurationen dargestellt in Abbildung 1A, wo ein feste CV folgt der Kontur der als glatte Kontraktion bei der Einnahme von einem Radialventilator. Der Fluss durch diese CV ist stabil, so ist die Änderungsgeschwindigkeit der Masse im Inneren der Lautstärke Null. Somit verschwindet der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (1). Auch ist der Lebenslauf auf das Kontraktion, die im Raum festgelegt ist und keine Geschwindigkeit hat, befestigt machen . Daher der net Flux von Masse durch diese CV ist null und Gleichung (1) vereinfacht zu:

(2)

Betrachtet man die Konfiguration in Abbildung 1A Masse fließt in die CV über Port 1 und lässt die CV über Port 2. Infolgedessen kann die Oberfläche integral auf der rechten Seite der Gleichung (2) in zwei unabhängige integrale für jeden Port unterteilt werden. Die Zeichen für das Skalarprodukt ist in Port 1 negativ, weil die Strömung in Richtung der CV geht, und im Anschluss 2 positiv, weil von den CV fließt. Ohne geht man davon aus, dass die Geschwindigkeit in jedem Hafen homogen verteilt ist, lassen Sie uns machen und die jeweiligen Geschwindigkeitsprofile unter Berücksichtigung, dass beides was bleiben nach der Einnahme des Skalarprodukt. Das heißt, das Ausmaß der die Geschwindigkeitskomponente parallel zur Fläche Vektor, . Schließlich sind Druckänderungen entlang der Kontraktion nicht bedeutend genug, um die beobachtbare Veränderungen in der Dichte zu bewirken. Nun, können wir die Dichte als konstant betrachten. Unter diesen Umständen würde die Gleichung (2) zu vereinfachen:

(3)

Beachten Sie, dass da Masse konserviert ist, die Masse flux, , ist das gleiche über beide Ports. Die Struktur dieser Beziehungen gegeben, jedes Integral in Gleichung (3) drückt die volumetrische Durchflussrate,, durch den entsprechenden Port, und diese Tatsache hilft, die durchschnittliche Geschwindigkeit zu definieren, für einen bestimmten Port:

(4)

Reibungsfreie Bedingungen konnte die Geschwindigkeit am Anschluss 2 in Bezug auf die Bedingungen außerhalb der Einnahme mit Bernoulli Gleichung entlang der zentralen Streamline ausgedrückt werden (siehe Abbildung 1A als Referenz):

(5)

Hier verschwindet die Auswirkungen der Höhe auf zentrale Streamline, weil es horizontal ist, und in die andere Stromlinien vernachlässigbar, ist da die Flüssigkeit Luft, hat ein sehr kleines spezifisches Gewicht. Auch, ist der erste Punkt auf der zentralen Streamline ausreichend weit vom Einlass, dass seine Geschwindigkeit Null ist. Da die Gleichung (5) für den idealisierten reibungsfreie Fall, dieser Wert der Geschwindigkeit ist wird werden alle über das gleiche port 2. In Wirklichkeit Grenzschicht Wachstum wirkt sich auf das Geschwindigkeitsprofil und macht es nicht homogen. Um diesen Effekt zu berücksichtigen, ist die ideale Schätzung mit experimentellen Messungen über die "Entlastung Coefficient" verglichen. Dieser Koeffizient ist definiert als das Verhältnis zwischen der gemessenen Durchschnittsgeschwindigkeit und die reibungsfreie Geschwindigkeit für einen gegebenen Querschnitt des Flusses:

(6)

Der Abflussbeiwert, , hängt von der Geometrie und der Reynolds-Zahl. Sobald festgestellt, könnte in Verbindung mit den Gleichungen (4) und (5) verwendet werden, um den Durchfluss über Port 2 basierend auf seine Querschnittsfläche und eine einfache Maßnahme Druckdifferenz zu bestimmen:

(7)

Bei der Gleichungen (4), (5) und (6) zusammen, und wenn man bedenkt, dass Port 2 ist kreisförmig, erhalten wir die folgende Beziehung für :

(8)

Es ergibt sich aus Gleichung (8), dass Wissen über das Geschwindigkeitsprofil der Abflussbeiwert erhalten muss. Zu diesem Zweck nutzen wir Velocimetry durch Pitot - Sonden statische. Wie in Abbildung 1 b gezeigt, das Staurohr bringt der Fluss zum Stillstand den Gesamtdruck sensing, das ist die Zugabe von statischen und dynamischen Belastungen zu einem bestimmten Zeitpunkt. Auf der anderen Seite spürt die statische Sonde an der Wand der statische Druck allein. Aus Bernoulli Gleichung angewendet an einer gegebenen radialen Position ist der Gesamtdruck nur Bernoulli Konstante. Am Hafen 2 kann dieses Prinzip durch folgende Beziehung an einer beliebigen Stelle der radialen ausgedrückt werden:

(9)

Hier sind wir die Wirkung der vertikalen Position vernachlässigen, weil unser Strömungskanal waagerecht ist. Zusammenfassend lässt sich sagen erhält man folgende Beziehung für die Größe der Geschwindigkeit an einer bestimmten Position "R" im Rohr:

(10)

Die Druckdifferenz wird direkt durch den Druck gemessen Wandler dargestellt in Abbildung 1 b, und das Geschwindigkeitsprofil wird durch durchqueren das Staurohr entlang die radiale Koordinate des Rohres. Beachten Sie, dass diese Geschwindigkeitsmessungen sind bei diskreten Positionen durchgeführt, daher sollten diese Datenpunkte verwendet werden, um das Integral in Gleichung (8) numerisch mit dem trapezförmigen oder die Simpson-Regel [1] zu lösen. Sobald der Wert von diesem integralen vorliegt, sollte es in Gleichung (8) zusammen mit dem gemessenen Wert von angeschlossen werden , der Dichte und der Radius des Kanals, um den Wert zu erhalten für diese bestimmten Strömung Voraussetzung. Bei der Wiederholung dieses Experiments für unterschiedliche Strömungsverhältnisse, erhalten wir ein Streudiagramm, die bestimmt werden kann, eine Beziehung zwischen und . Diese Beziehung kann dann in Gleichung (7) vollständig die Durchflussmenge bestimmen ersetzt, als Funktion der ausschließlich .

1. Einstellen der Anlage

1. Stellen Sie sicher, dass in der Anlage gibt es keine Strömung.
2. Vergewissern Sie sich, dass das Datenerfassungssystem der Schaltplan in Figur 1 bfolgt.
3. Verbinden Sie die positive Druckaufnehmer #1-Port (siehe Abbildung 1 b als Referenz) zu überquerenden Staurohr ().
4. Verbinden Sie den negativen Port von dieser gleichen Druckaufnehmer zur statischen Sonde der Einnahme Passage (). Daher die Lektüre dieser Druckaufnehmer werden direkt ().
5. Erfassen diese Wandler Umrechnungsfaktor von Volt auf Pascals (). Geben Sie den Wert in der Tabelle 1.
6. Verbinden Sie den positiven Port der Druckaufnehmer #2 (siehe Abbildung 1 b zu Referenzzwecken) die statischen Sonde der Einnahme Passage () mit einem Abschlag.
7. Offenlassen der negative Anschluss der Druckaufnehmer #2 in die Atmosphäre (). Daher werden die Lektüre dieser Wandler direkt ().
8. Erfassen diese Wandler Umrechnungsfaktor von Volt auf Pascals (). Geben Sie den Wert in der Tabelle 1.
9. Legen Sie das Datenerfassungssystem auf Probe mit einer Rate von 100 Hz für insgesamt 500 Proben (d. h. 5 s von Daten).
10. Stellen Sie sicher, dass Kanal 1 in das Datenerfassungssystem entspricht Druckaufnehmer #1 ().
11. Geben Sie den Umrechnungsfaktor in das Datenerfassungssystem um sicherzustellen, dass der Druckmessung () wird direkt in Pascal konvertiert.
12. Festlegen der Pitot-Sonde am Ende seiner Reise, wo es das Rohr Wand berührt. Da die Sonde 2 mm im Durchmesser ist, befindet sich erste Geschwindigkeit in eine radiale Koordinate 1 mm von der Wand weg. Das heißt, bei einem radialen Position der mm (hier, mm).

Abbildung 2 . Experimentelle Einstellung. (A): Durchgang unter Studie fließen. (B): Handbuch durchqueren System für das Staurohr. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.

Tabelle 1. Grundparameter für experimentelle Studie. Par Ameter Wert

2. Messungen

1. Die Flow-Anlage einschalten.
2. Notieren Sie die Lektüre der Druckaufnehmer #2 in Volt aus der digital-Multimeter.
3. Geben Sie diesen Wert in der Tabelle 1 als und konvertieren Sie die Lesung von Volt in Pascals mit dem Faktor .
4. Das Datenerfassungssystem verwenden, um das Lesen der aufzuzeichnen ().
5. Geben Sie den Wert des in Tabelle 2.
6. Verwenden Sie die traversierenden Regler, um die radiale Position das Staurohr gemäß den in Tabelle 2 vorgeschlagenen Wert ändern.
7. Wiederholen Sie die Schritte 2.4 und 2.6 bis Tabelle 2 vollständig gefüllt ist.
8. Ändern Sie die Durchflussmenge durch Variation des Systems Entlastung.
9. Wiederholen Sie die Schritte 2,4 bis 2,8 für mindestens zehn verschiedene Durchflussmengen.
10. Die Flow-Anlage ausschalten.

Abbildung 5 . Experimentelle Einstellung. Perforierte Platten zum Fluss mit der Entlastung des Fluss-Systems einschränken. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.

Tabelle 2. Repräsentative Ergebnisse. Geschwindigkeitsmessungen. f (mm) P-_T - P₂ (Pa) u (R) (m/s

(3) Datenanalyse.

1. Bestimmen das Geschwindigkeitsprofil mit Druck Differenzwerte, P-_T - P_2, Tabelle 2. Geben Sie die Ergebnisse in Tabelle 2.
2. Plot der Druck und die Geschwindigkeit Werte aus Tabelle 2 mit Radius,, als Abszissen (Abbildung 3).
3. Das Integral in Gleichung (8) anhand der Geschwindigkeit und Radius Werte aus Tabelle 2 zu berechnen.
4. Berechnen Sie den Abflussbeiwert für jede Durchflussmenge mittels Gleichung (8).
5. Plot der Entlastung Koeffizienten mit als die Abszissen.
6. Eine Funktion, um den Abflussbeiwert, einem Potenzgesetz passt eine gute Wahl.

Abbildung 3 . Repräsentative Ergebnisse. (A): Beispiel für die Messung des statischen Drucks entlang die radiale Koordinate der Strömungskanal. (B): Geschwindigkeitsverteilung ermittelt aus den Messwerten des statischen Drucks. Bitte klicken Sie hier für eine größere Version dieser Figur.

Für eine gegebene Einschränkung der Strömung an den Lüfter Entlastung Abbildung 3A zeigt die Messungen des dynamischen Drucks () radial Standorten innerhalb des Rohres nach durchlaufen mit Staurohr. Diese Werte wurden verwendet, um die lokale Geschwindigkeit an diesen radialen Positionen zu bestimmen, und die Ergebnisse sind in Abbildung 3 bgezeigt. Nachdem Sie mithilfe der trapezförmigen Regel auf diesen Daten um Gleichung (4) für die Durchschnittsgeschwindigkeit zu lösen, erhalten wir einen Wert von m/s. Auf der anderen Seite, den Wert des aus Tabelle 1 wurde verwendet, um die ideale Geschwindigkeit aus Gleichung (5) bestimmen: m/s. daher, der Abflussbeiwert für diesen Flow-Zustand ist: . Dieser Wert ist als ein rotes Dreieck in Abbildung 4 dargestellt.

Nach diesem Experiment neunundzwanzig mehrmals wiederholen, erhalten wir das Streudiagramm in Abbildung 4dargestellt. Diese Daten können gut dargestellt werden, durch ein Gesetz des :

(11)

Der Grund für diese Wahl des Arguments ist um sicherzustellen, dass die führenden konstante dimensionslose bleibt, und daher diese Korrelation nach wie vor gültig, unabhängig von dem System der Einheiten für den Druck verwendet wäre. Diese Funktion ersetzt werden kann, in Gleichung (7) zu den Durchfluss in Abhängigkeit von :

(12)

Hier, die konstanten der Gleichungen (7) und (11) wurden in einen Topf geworfen in eine dimensionslose Konstante:. Infolgedessen ist Gleichung (12) gültig für jedes System von Einheiten, solange die Variablen konsequent die entsprechenden Einheiten zugeordnet sind. Der Einfachheit halber wurde die Dichte von Gleichung (7) in Bezug auf den atmosphärischen Druck und Absolute Temperatur mit dem idealen Gas-Gesetz ausgedrückt. Gleichung (12) ist gültig für verschiedenen atmosphärischen Bedingungen, wie sie für lokale Druck-und TemperaturT und P(_{atm Konten}). Solange geometrische Ähnlichkeit konserviert wird, würde diese Gleichung gültig für Passagen in verschiedenen Größen, wie durch den Radius R. berücksichtigt auch

Abbildung 4. Repräsentative Ergebnisse. : Entlastung Koeffizienten bestimmt bei unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten. : Abflussbeiwert bestimmt mit den Geschwindigkeitsmessungen demonstriert hier.-: Power-Gesetz an die experimentellen Daten ausgestattet.

Abbildung 6. Vertreter Ergebnisse. Handlung des Produktes zwischen Geschwindigkeit und Radius.

Tabelle 3. Repräsentative Ergebnisse. Abflussbeiwert.

Wir demonstriert die Anwendung der Kontrolle Volumen Analyse der Erhaltung der Masse, ein Strömungskanal als ein Durchflussmesser kalibrieren. Zu diesem Zweck haben wir die Verwendung eines Pitot-Statik-Systems zu bestimmen, den Durchfluss durch den Strömungskanal mit Integration über das Geschwindigkeitsprofil gezeigt. Dann wurde das Konzept der Abflussbeiwert entfallen die Auswirkungen des Wachstums der Grenzschicht in der Nähe von den Wänden von den Strömungskanal aufgenommen. Basierend auf einer Reihe von Geschwindigkeitsmessungen für verschiedene Durchflussmengen, wir entwickelten eine Regression, die den Abflussbeiwert als eine Funktion des Verhältnisses zwischen der saugseitigen an der Strömungskanal und die lokalen Atmosphärendruck drückt. Schließlich wurde diese Regression in eine Gleichung für den Durchfluss durch die Passage als Funktion der aufgenommen. Diese Gleichung wurde entwickelt um hält seine Gültigkeit unter Veränderungen der atmosphärischen Gegebenheiten, Durchgang Größe und Einheitensystem.

Kontrolle-Volumen-Analyse für Massenerhaltung bietet viele Alternativen zum Fluss Passagen als Durchflussmesser kalibrieren. Beispielsweise werden Lochbleche, Düsen und Venturi-Rohre in beengten fließt zur Durchflussmenge basierend auf Druckänderungen zwischen zwei verschiedenen Abschnitten des Durchganges zu bestimmen. Und ähnlich wie bei unserem Beispiel, diese Geräte müssen mit einem Abflussbeiwert charakterisiert werden, die für Grenzschicht Effekte korrigiert.

Fluss durch offene Kanäle Lautstärke Analyse für Massenerhaltung auch lässt sich Durchfluss bewerten, indem Sie die Tiefe des Flusses zu vergleichen, vor und nach dem Fluss Einschränkungen z. B. Überläufe, teilweise offenen Tore oder Querschnitt Ermäßigungen. Die Hauptbedeutung dieser Anwendungen ist, dass hydraulische Strukturen für Wasserverteilung, Kontrolle und Behandlung von sehr großen Skalen, die die Verwendung der anderen Fluss-Geräte ausschließen würde.

1. White, F. M. Fluid Mechanics, 7th ed., McGraw-Hill, 2009.
2. Munson, B.R., D.F. Young, T.H. Okiishi. Fundamentals of Fluid Mechanics. 5^th ed., Wiley, 2006.
3. Chapra, S.C. and R.P. Canale. Numerical methods for engineers. Vol. 2. New York: McGraw-Hill, 1998.
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