Ряд Фурье — мощный инструмент в задачах по обработке сигналов и коммуникациям, позволяющий выражать периодические сигналы в виде сумм синусоидальных и косинусоидальных функций. Основополагающим свойством ряда Фурье является линейность. Если мы рассмотрим два периодических сигнала, их линейная комбинация приведет к новому сигналу, коэффициенты Фурье которого будут просто соответствующими линейными комбинациями коэффициентов исходных сигналов. Это свойство имеет решающее значение в таких приложениях, как радио с частотной модуляцией (FM), где несколько сигналов могут передаваться по одному и тому же каналу без помех.

Сдвиг по времени периодического сигнала оставляет величину его коэффициентов Фурье неизменной. Эта инвариантность означает, что основные характеристики сигнала остаются неизменными, несмотря на сдвиг. Например, в радиовещании это свойство гарантирует, что сдвиг сигнала по времени не изменит его качество. Математически, если x(t) сдвинут на t_0, новый сигнал x(t−t_0) имеет коэффициенты Фурье e^(−jωt) X(jω), где X(jω) — исходные коэффициенты. Величина ∣X(jω)∣ остается неизменной.

Обращение по времени — еще одно ключевое свойство, при котором последовательность коэффициентов ряда Фурье сигнала также подвергается обращению времени. Для сигнала x(t) его обращенная по времени версия x(−t) будет иметь коэффициенты Фурье, которые являются комплексно сопряженными исходным коэффициентам, X(−jω). Это свойство широко используется в цифровой обработке сигналов, особенно в операциях свертки, упрощая математическую обработку сигналов.

Симметрия сигналов также влияет на их коэффициенты Фурье. Четный сигнал, удовлетворяющий свойству x(t) = x(−t), имеет действительные и чётные коэффициенты Фурье. Наоборот, нечётный сигнал, где x(t) = −x(−t), имеет чисто мнимые и нечётные коэффициенты. Эти свойства симметрии помогают упростить анализ и синтез сигналов.

Подводя итог, можно сказать, что свойства ряда Фурье — линейность, инвариантность к временному сдвигу, обращение по времени и симметрия — являются основополагающими в различных приложениях, особенно для повышения качества сигнала и облегчения задач обработки сигналов в коммуникациях и вещании.