La série de Fourier est un outil puissant dans le traitement du signal et les communications, permettant d'exprimer des signaux périodiques sous forme de sommes de fonctions sinus et cosinus. L'une des propriétés fondamentales de la série de Fourier est la linéarité. Si nous considérons deux signaux périodiques, leur combinaison linéaire donne un nouveau signal dont les coefficients de Fourier sont simplement les combinaisons linéaires correspondantes des coefficients des signaux d'origine. Cette propriété est cruciale dans des applications telles que la radio à modulation de fréquence (FM), où plusieurs signaux peuvent être transmis sur le même canal sans interférence.

Le décalage temporel d'un signal périodique laisse inchangée l’amplitude de ses coefficients de Fourier. Cette invariance signifie que les caractéristiques essentielles du signal restent intactes malgré le décalage. Par exemple, dans le domaine de la radiodiffusion, cette propriété garantit que la translation temporelle d'un signal n'altère pas sa qualité. Mathématiquement, si x(t) est décalé de t_0, le nouveau signal x(t−t_0) a des coefficients de Fourier e^(−jωt) X(jω), où X(jω) sont les coefficients d'origine. L’amplitude ∣X(jω)∣ reste inchangée.

L’inversion temporelle est une autre propriété clé où la séquence des coefficients de la série de Fourier d'un signal subit également une inversion temporelle. Pour un signal x(t), sa version inversée dans le temps x(−t) aura des coefficients de Fourier qui sont le conjugué complexe des coefficients d'origine, X(−jω). Cette propriété est largement utilisée dans le traitement du signal numérique, en particulier dans les opérations de convolution, ce qui simplifie la manipulation mathématique des signaux.

La symétrie des signaux influence également leurs coefficients de Fourier. Un signal pair, qui satisfait x(t) = x(−t), a des coefficients de Fourier réels et pairs. Inversement, un signal impair, où x(t) = −x(−t), a des coefficients purement imaginaires et impairs. Ces propriétés de symétrie aident à simplifier l'analyse et la synthèse des signaux.

En résumé, les propriétés de la série de Fourier — linéarité, invariance par translation temporelle, inversion temporelle et symétrie — sont fondamentales dans diverses applications, en particulier pour améliorer la qualité du signal et faciliter les tâches de traitement du signal dans les communications et la radiodiffusion.