Szereg Fouriera to narzędzie w przetwarzaniu sygnałów i komunikacji, pozwalające na wyrażanie sygnałów okresowych jako sumy funkcji sinus i cosinus. Podstawową właściwością szeregu Fouriera jest liniowość. Jeśli weźmiemy pod uwagę dwa sygnały okresowe, ich liniowa kombinacja daje nowy sygnał, którego współczynniki Fouriera są po prostu odpowiadającymi im liniowymi kombinacjami współczynników oryginalnych sygnałów. Ta właściwość jest kluczowa w zastosowaniach takich jak radio z modulacją częstotliwości (FM), gdzie wiele sygnałów może być przesyłanych tym samym kanałem bez zakłóceń.

Przesunięcie w czasie sygnału okresowego pozostawia jego współczynniki Fouriera bez zmian. Ta niezmienność oznacza, że podstawowe cechy sygnału pozostają nienaruszone pomimo przesunięcia. Na przykład w nadawaniu radiowym ta właściwość zapewnia, że przesunięcie sygnału w czasie nie zmienia jego jakości. Matematycznie, jeśli x(t) zostanie przesunięte o t_0, nowy sygnał x(t−t_0) ma współczynniki Fouriera e^(−jωt) X(jω), gdzie X(jω) są oryginalnymi współczynnikami. Wielkość |X(jω)| pozostaje niezmieniona.

Odwrócenie czasu to kolejna kluczowa właściwość, w której sekwencja współczynników szeregu Fouriera sygnału również ulega odwróceniu w czasie. W przypadku sygnału x(t) jego odwrócona w czasie wersja x(−t) będzie miała współczynniki Fouriera, które są sprzężonymi zespolonymi współczynnikami oryginalnymi, X(−jω). Ta właściwość jest szeroko stosowana w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, szczególnie w operacjach splotowych, upraszczając matematyczną manipulację sygnałami.

Symetria sygnałów wpływa również na ich współczynniki Fouriera. Sygnał parzysty, który spełnia warunek x(t) = x(−t), ma współczynniki Fouriera, które są rzeczywiste i parzyste. Odwrotnie, sygnał nieparzysty, gdzie x(t) = −x(−t), ma współczynniki czysto urojone i nieparzyste. Te właściwości symetrii pomagają w uproszczeniu analizy i syntezy sygnałów.

Podsumowując, właściwości szeregu Fouriera to: liniowość, niezmienność przesunięcie w czasie, odwrócenie czasu i symetria. Mają one fundamentalne znaczenie w różnych zastosowaniach, w szczególności w poprawie jakości sygnału i ułatwianiu zadań przetwarzania sygnału w komunikacji i nadawaniu.