16.3 : Propiedades de las series de Fourier I

Las series de Fourier son una herramienta poderosa en el procesamiento de señales y las comunicaciones, que permite expresar señales periódicas como sumas de funciones seno y coseno. Una propiedad fundamental de las series de Fourier es la linealidad. Si consideramos dos señales periódicas, su combinación lineal da como resultado una nueva señal cuyos coeficientes de Fourier son simplemente las combinaciones lineales correspondientes de los coeficientes de las señales originales. Esta propiedad es crucial en aplicaciones como la radio con modulación de frecuencia (FM), donde se pueden transmitir múltiples señales por el mismo canal sin interferencias.

El desplazamiento temporal de una señal periódica deja inalterada la magnitud de sus coeficientes de Fourier. Esta invariancia significa que las características esenciales de la señal permanecen intactas a pesar del desplazamiento. Por ejemplo, en la radiodifusión, esta propiedad garantiza que el desplazamiento temporal de una señal no altere su calidad. Matemáticamente, si x(t) se desplaza en t_0, la nueva señal x(t−t_0) tiene coeficientes de Fourier e^(−jωt) X(jω), donde X(jω) son los coeficientes originales. La magnitud ∣X(jω)∣ permanece inalterada.

La inversión temporal es otra propiedad clave en la que la secuencia de los coeficientes de la serie de Fourier de una señal también experimenta una inversión temporal. Para una señal x(t), su versión invertida en el tiempo x(−t) tendrá coeficientes de Fourier que son el conjugado complejo de los coeficientes originales, X(−jω). Esta propiedad se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales digitales, especialmente en operaciones de convolución, lo que simplifica la manipulación matemática de las señales.

La simetría de las señales también influye en sus coeficientes de Fourier. Una señal par, que satisface x(t) = x(−t), tiene coeficientes de Fourier que son reales y pares. Por el contrario, una señal impar, donde x(t) = −x(−t), tiene coeficientes puramente imaginarios e impares. Estas propiedades de simetría ayudan a simplificar el análisis y la síntesis de señales.

En resumen, las propiedades de las series de Fourier (linealidad, invariancia de desplazamiento temporal, inversión temporal y simetría) son fundamentales en diversas aplicaciones, en particular para mejorar la calidad de la señal y facilitar las tareas de procesamiento de señales en las comunicaciones y la radiodifusión.