A série de Fourier é uma ferramenta poderosa em processamento de sinais e comunicações, permitindo que sinais periódicos sejam expressos como somas de funções seno e cosseno. Uma propriedade fundamental da série de Fourier é a linearidade. Se considerarmos dois sinais periódicos, sua combinação linear resulta em um novo sinal cujos coeficientes de Fourier são simplesmente as combinações lineares correspondentes dos coeficientes dos sinais originais. Essa propriedade é crucial em aplicações como rádio de modulação de frequência (FM), onde vários sinais podem ser transmitidos pelo mesmo canal sem interferência.

A mudança de tempo de um sinal periódico deixa a magnitude de seus coeficientes de Fourier inalterada. Essa invariância significa que as características essenciais do sinal permanecem intactas, apesar da mudança. Por exemplo, na transmissão de rádio, essa propriedade garante que a mudança de um sinal no tempo não altere sua qualidade. Matematicamente, se x(t) for deslocado por t_0, o novo sinal x(t−t_0) tem coeficientes de Fourier e^(−jωt) X(jω), onde X(jω) são os coeficientes originais. A magnitude ∣X(jω)∣ permanece inalterada.

A reversão temporal é outra propriedade fundamental em que a sequência dos coeficientes da série de Fourier de um sinal também sofre reversão temporal. Para um sinal x(t), sua versão com reversão temporal x(−t) terá coeficientes de Fourier que são o conjugado complexo dos coeficientes originais, X(−jω). Esta propriedade é amplamente usada no processamento de sinais digitais, especialmente em operações de convolução, simplificando a manipulação matemática de sinais.

A simetria em sinais também influencia seus coeficientes de Fourier. Um sinal par, que satisfaz x(t) = x(−t), tem coeficientes de Fourier que são reais e pares. Por outro lado, um sinal ímpar, onde x(t) = −x(−t), tem coeficientes puramente imaginários e ímpares. Essas propriedades de simetria ajudam a simplificar a análise e a síntese de sinais.

Em resumo, as propriedades da série de Fourier — linearidade, invariância de deslocamento temporal, reversão temporal e simetria — são fundamentais em várias aplicações, particularmente na melhoria da qualidade do sinal e na facilitação de tarefas de processamento de sinal em comunicações e transmissão.