후크의 법칙과 단순 조화 운동

압축 또는 늘어난 위치에 스프링을 보유하려면 누군가 또는 무언가가 봄에 힘을 발휘해야합니다. 이 힘은 스프링의 변위, Δy에 직접 비례합니다. 차례로, 봄은 동등하고 반대의 힘을 발휘합니다 :

F = -k Δy,(방정식 1)

K가 "봄 강성 상수"라고 불리는 곳. 이는 스프링이 음의 기호로 표시된 변위와 반대 방향으로 힘을 발휘하기 때문에 종종 "복원력"이라고 합니다. 방정식 1은 후크의 법칙으로 알려져 있습니다.

후크의 법칙과 마찬가지로 평형에서 변위에 비례하는 복원력이 있을 때마다 간단한 고조파 운동이 발생합니다. 뉴턴의 두 번째 법칙인 F = ma에서가속 a가 시간에 대한 변위의 두 번째 유도체임을 인식하고, 방정식 1은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

m (d²y/dt²⁾= -k y. (방정식2)

이 2차 차동에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

y(t)= 죄(t + φ),(방정식 3)

여기서 A는 진동, ω = (k/m)^1/2의진폭이고, 위상 각 φ 시스템의 초기 조건에 따라 달라집니다. 방정식 3의 형태로 방정식은 간단한 고조파 모션이라고 하는 것을 설명합니다. 기간 T, 주파수 f및 상수 ω은 다음과 관련이 있습니다.

ω = 2πf = 2π/T.(방정식 4)

따라서, 기간 T는 에 의해 주어진다:

T = 2π (m/k)^1/2. (수학식 5)

T는 진동의 진폭 A에 의존하지 않습니다. 따라서, 수직으로부터 매달린 스프링에서 무게가 매달려 있는 경우, 진동의 결과 기간은 부착된 중량의 제곱근에 비례한다.

스프링 거리를 스트레칭하는 데 필요한 작업은 W = <F> y이며,여기서 <F> 문자열을 스트레칭하는 데 필요한 평균 힘입니다. F는 y에서선형이기 때문에 평균은 평형 (= 0)과 힘의힘일 뿐입니다.

<F> = 1/2 [0 + ky]. (방정식6)

작업이 수행되므로 탄성 잠재적 에너지 인 PE는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

PE = 1/2 k y². (방정식7)

스프링의 잠재적 인 에너지는이 실험실에서 측정됩니다.

상수 k = 10 N/m의 스프링으로 수행된 실험의 대표적인 결과는 표 1에도시된다. 변위 Δy대 F의 플롯은 그림 2에서아래에 플롯됩니다. 선형 함수는 선에 적합하며 선의 기울기는 오차 범위 내에서 스프링 상수와 같습니다. 결과의 선형성은 Hooke의법칙(수학식 1)의유효성을 보여줍니다.

표 1을 검사하여 진동의 T 기간이 스프링에 부착된 질량과 어떻게 관련이 있는지 확인합니다. 스프링에 부착된 질량이 무거울수록,매스(수학식 5)의제곱뿌리에 비례하기 때문에 기간이 길어질 것이다. 또한, 봄의 끝에 더 큰 질량이 부착되면, 봄이 더 뻗어있을 것입니다 주의한다. 시스템의 잠재적 에너지는평형(수학식 7)으로부터제곱변기의 함수이기 때문에 더 큽니다. 스프링이 평형에서 더 멀리 변하기 때문에 더 큰 질량의 기간이 더 길어진다는 것이 합리적입니다.
표 1. 결과.

질량 (kg)	무게/F(N)	Δy (m)	PE (J)	T 측정(들)	T 계산(들)
0.5	4.9	0.49	2.4	1.3	1.4
0.75	7.4	0.74	5.4	1.6	1.7
1	9.8	0.98	9.6	1.9	1.9
1.5	14.7	1.5	21.6	2.5	2.4
2	19.6	2	38.4	2.9	2.8

그림 2: 적용된 힘(N) 대 변위 플롯입니다.

스프링의 사용은 우리의 일상 생활에서 유비쿼터스입니다. 현대 자동차의 서스펜션은 제대로 감쇠 된 스프링으로 만들어집니다. 이를 위해서는 스프링 상수에 대한 지식이 필요합니다. 매끄러운 캐딜락 라이드를 위해, 낮은 스프링 상수가 있는 스프링이 사용되고, 타는 것은 "무시에"입니다. 고성능 자동차는 스프링을 사용하여 스프링상수량이 높으며 취급을 개선합니다. 다이빙 보드는 또한 보드에서 다이빙 할 때 얼마나 많은 "바운스"가 원하는지에 따라 다른 봄 상수의 스프링으로 만들어집니다. 암벽 등반 로프도 약간 탄력적이기 때문에 등반가가 등반하는 동안 떨어지면 로프가 땅에 부딪히는 것을 구할뿐만 아니라 탄력으로 가을을 약화시킬 것입니다. 등반 로프의 스프링 상수가 작을수록 번지 점프와 더 가깝게 비슷합니다.

이 연구에서는, 다양한 크기의 힘의 적용으로 인한 스프링의 변위를 측정했다. 후크의 법칙의 타당성은 매달려 봄에 가해지는 힘의 기능으로 결과 변위를 플로팅하여 확인되었습니다. 진동 운동은 또한 봄에 부착 된 질량의 제곱 근에 비례하는 기간으로 관찰되었다.