14.3 : Свертка: математика, графика и дискретные сигналы

В любой системе LTI (линейной, не зависящей от времени системе) свертка двух сигналов обозначается с помощью оператора свертки, в предположении, что все начальные условия равны нулю. Интеграл свертки можно разделить на две части: нулевой вход или естественный отклик и нулевой статус или вынужденный отклик, где t_0 обозначает начальное время.

Для упрощения интеграла свертки предполагается, что и входной сигнал, и импульсный отклик равны нулю для отрицательных значений времени. Графический процесс свертки включает четыре шага: свертывание, сдвиг, умножение и интегрирование.

Рассмотрим RC-цепь с заданным входным импульсным сигналом и выходным откликом. Первоначально свертывание выполняется путем создания зеркального отображения входного сигнала вдоль оси y. Затем следует сдвиг, при котором свернутый сигнал скользит вдоль оси времени. Затем умножение свернутого и сдвинутого сигналов выполняется по точкам. Наконец, интегрирование полученного сигнала по времени дает результат свертки. Этот процесс можно изобразить графически.

В дискретной временной свертке реакция системы определяется путем подачи входного сигнала на дискретную временную систему и использования импульсной характеристики и суммы свертки. Свертка дискретного входного сигнала x[n] и импульсной характеристики ℎ[n] формирует сумму свертки для реакции системы:

Эта сумма вычисляет выходной сигнал y[n] на каждом дискретном временном шаге n. Понимание как непрерывной, так и дискретной свертки необходимо для анализа LTI- систем и прогнозирования их поведения в ответ на различные входные данные.