14.3 : Faltung: Mathematik, Grafik und diskrete Signale

In jedem LTI-System (lineare zeitinvariantes System) wird die Faltung zweier Signale mithilfe eines Faltungsoperators dargestellt, wobei angenommen wird, dass alle Anfangsbedingungen Null sind. Das Faltungsintegral kann in zwei Teile unterteilt werden: die Null-Eingangs- oder natürliche Antwort und die Nullzustands- oder erzwungene Antwort, wobei t_0 die Anfangszeit angibt.

Um das Faltungsintegral zu vereinfachen, wird angenommen, dass sowohl das Eingangssignal als auch die Impulsantwort bei negativen Zeitwerten Null sind. Der grafische Faltungsprozess umfasst vier Schritte: Falten, Verschieben, Multiplizieren und Integrieren.

Stellen Sie sich einen RC-Schaltkreis mit einem angegebenen Eingangsimpulssignal und einer angegebenen Ausgangsantwort vor. Zunächst wird die Faltung durchgeführt, indem ein Spiegelbild des Eingangssignals entlang der y-Achse erstellt wird. Darauf folgt das Verschieben, bei dem das gefaltete Signal entlang der Zeitachse verschoben wird. Als Nächstes erfolgt die Multiplikation der gefalteten und verschobenen Signale Punkt für Punkt. Schließlich liefert die Integration des resultierenden Signals über die Zeit das Faltungsergebnis. Dieser Prozess kann grafisch dargestellt werden.

Bei der zeitdiskreten Faltung wird die Reaktion des Systems bestimmt, indem ein Eingang auf ein zeitdiskretes System angewendet wird und die Impulsantwort und die Faltungssumme verwendet werden. Die Faltung des diskreten Eingangssignals x[n] und der Impulsantwort ℎ[n] bildet die Faltungssumme für die Systemantwort:

Diese Summe berechnet das Ausgangssignal y[n] bei jedem diskreten Zeitschritt n. Das Verständnis sowohl der kontinuierlichen als auch der diskreten Faltung ist für die Analyse von LTI-Systemen und die Vorhersage ihres Verhaltens als Reaktion auf verschiedene Eingänge von wesentlicher Bedeutung.