강철 기둥의 좌굴

좌굴 현상은 쉽게 관찰 할 수 있기 때문에, 그것은 고대부터 잘 알려져 있지만, 좌굴의 문제에 대한 분석 통찰력은 물리학의 수학 기초가 연구의 인기있는 주제가되었다 1700 년대까지 관심을 얻지 못했다. 유명한 스위스 수학자인 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 1742년에 단순히 지원되는 기둥의 좌굴 부하에 대한 해결책을 최초로 제공했습니다. Euler는 완벽하게 직선 열이 두 가지 구성에서 평형에 있을 수 있다고 추론하여 솔루션을 공식화했습니다: 변형되지 않은 기둥과 변형된 기둥(약간 구부러진 위치).

변형된 컬럼의 경우, 오일러는 편심 y에서작용하는 부하 P에 의해 주어진 외부 순간이 내부 순간(M)에 의해 균형을 이루는 약간 구부러진 구성의 평형이 균형을 이루고 있다고 가정했습니다.

(Eq. 1)

수량 y는 길이 z를따라 측면 변위입니다. y의 첫 번째 유도체는 경사이고, y의 두 번째 유도체는 부재의 곡률이다. 내부 저항은 곡률 또는 구부러진 강성(EI)으로 나눈 내부 순간에 비례하므로 다음과 같이 합니다.

(Eq. 2)

이 방정식에서 E는 탄성의 계체이며 나는 관성의 순간, 단면의 기하학적 특성입니다. (Eq. 2)를 (Eq. 1)로 대체하고 0과 동일하게 설정하면 y가 수평 변형인 좌굴의 전통적인 차등 방정식을 제공하며 k는 방정식을 단순화하는 데 사용되는 대체 변수입니다.

(Eq. 3)

길이 z를 따라 열 변형이 있다고 가정하는 경우 다음을 수행합니다.

(Eq. 4)

열이 끝을 고정하고 이러한 끝이 서로 에 대해 측면으로 대체되지 않는 경우 z = 0및 L의 경계 조건은 0입니다. 따라서

(Eq. 5)

어디 N = 1,2, .... N의 가장 낮은 값은 탄성 좌굴 부하(P _임계 또는 P _cr)인1입니다. 고정 된 끝이있는 열의 경우(즉, 끝이 자유롭게 회전할 수 있지만 위의 지정된 경계 조건으로 번역하지 않음) P_cr은 오일러 좌굴 부하에 의해 제공됩니다.

(Eq. 6)

이 방정식에는 탄성(E), 치수 및 길이의 계수에만 재료강도와 관련된 용어가 포함되어 있지 않습니다. 직사각형 부품으로 구성된 섹션의 관성(I)의 순간은 두 가지 구성 요소의 부분의 중심에 대한 합계에 의해 주어집니다: 개별 사각형의 관성 모멘트(bd3/12)플러스 그 영역(A) 시간 전체 섹션의 중심으로부터의거리(d):

(Eq. 7)

Eq. 7은 재료의 대부분을 센트로이드에서 가능한 한 멀리 떨어져 두어 크게 증가 할 수 있음을 강조합니다 (즉, d를 최대화하여). 예를 들어 고정된 총 면적은 13인입니다.^2,하나는 두 개의 분포를 선택할 수 있습니다 : (a) 13 in. x 1의 단일 사각형, 총 I의 결과 183 인치^4,또는 (b) W 자형 섹션 6.5 인치. x 0.45 인치. 0.35의 웹으로 연결. x 19.1. W 자형은 4배 이상의 좌굴 용량을 제공하기 때문에 압축과 관련하여 훨씬 더 효율적인 재료 사용이 될 것입니다. 실제 표준 AISC W-shape는 13인치^2,W21x44(명목 깊이 21인치 및 피트당 44lbs)의 무게를 가진 I를 직사각형 섹션의^4배 이상 843분의 I를 제공한다.

관성(I)과영역(A)의 순간사이의 관계는 교향의 반경(r)에 의해 정의된다.

(Eq. 8)

좌굴 용량은 때때로 중요한 부하를 영역으로 나누어 임계 응력(F_cr)으로표현됩니다.

(Eq. 9)

Eq의 파생에 내재된 몇 가지 제한 사항이 있음을 명심해야 합니다.

1. 순전히 탄성 동작, 따라서 그들은 재료의 비례 한계까지 유효합니다.
2. 하중은 실제로 달성하기 어려운 컬럼의 중심에 적용됩니다. 따라서 우발적인 초기 편심은 설계에 역할을 합니다.
3. 열은 처음에는 완벽하게 직선입니다. 강철 모양은 압연 공정에 의해 생성되기 때문에 캠버와 스윕 (즉, 두 주 축을 따라 약간 구부러집니다). 이러한 초기 결함은 L/1000 순서에 따라 작지만 실제 열 동작은 이상화된 열의 순서와 다를 수 있습니다.
4. 우리의 경우 삼각 함수 (즉, 죄와 코신 기능의 조합)의 형태를 취한 편향 된 모양. 이 경우 올바른 분석 솔루션을 실제로 사용했지만 항상 가능한 것은 아닙니다. 일반적으로 올바른 솔루션을 근사화하는 모든 기능은 만족스러운 근사치를 제공하지만 정확한 해결책은 아닙니다.
5. 이상화 된 최종 조건. 좌굴 부하를 해결하기 위해 수학적 문제에 대한 경계 조건을 설정해야 하며 열이 끝을 고정했다고 가정했습니다. 또한, 열의 끝이 서로 에 대하여 측면으로 번역되지 않았다고 가정하였다(즉, 이것은 브레이스드 프레임에서 발생하는 흔들리는 허용 케이스와 는 반대로, 브레이스 프레임에서 발생하는 흔들리는 방지 케이스입니다). 실제 생활에서, 이러한 이상화 된 조건은 근사치 될 수 있습니다.
6. 생산 중 강철 모양의 냉각 및 압연에서 발생하는 잔류 응력이 없습니다. 이러한 응력은 산출하는 단면이 0의 탄력의 계수를 가지고 있기 때문에 예상보다 일찍 산출하고 관성의 순간의 손실을 초래합니다. 열 강성이 감소함에 따라 Eq. 1이 분자에 EI를 가지고 있기 때문에 열의 용량이 감소해야 합니다.

두 번째, 세 번째 및 마지막 제한은 일반적으로 초기 결함으로 함께 처리되며, 그 크기는 확립 된 건설 및 제조 허용 오차에 열쇠됩니다. 이러한 문제를 만족스럽게 해결하는 열 설계 곡선이 개발되었습니다.

불완전한 시스템의 하중 운반 용량이 완벽한 시스템보다 실질적으로 적으면 구조적/기계 계통이 불완전하다고 합니다. 반대로, 불완전함으로 인해 로드 운반 능력이 손실되지 않으면 시스템이 불완전하다고 합니다. 열은 직선이고 부하가 동심인 경우 완벽한 열이라고 합니다. 실제로는 불가능하지만 열이 무감각하기 때문에 다행히도 정상적인 하중하에서 부하 운반 용량이 갑자기 손실되지 않습니다. 반면, 구체와 실린더는 불완전함에 민감하며, 그 결과, 쉘(돔, 냉각탑 및 저장 탱크) 및 기타 구조물을 시공하는 동안 올바른 형상을 얻기 위해 많은 주의를 기울여야 합니다. 불완전성의 효과는 컬럼의 굽힘 순간을 증가시키는 경향이 있기 때문에 측면 편향 속도를 가속화하는 것입니다.

제5 가정과 관련된 제한, 경계 조건의, 유효길이(kL)의개념의 사용에 의해 간단히 처리될 수 있다. 유효 길이 계수 k는 변곡점 사이의 길이의 비율을 제공합니다 (즉, 0 모멘트 또는 열을 따라 0 곡률의 점). 따라서 Eq. (9)는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

(Eq. 10)

분모(kL/r)는 열의 가느다란 것으로 알려져 있다. 낮은 값(예: kL/r < 20)은 좌굴에 매우 취약하지 않은 가느다란 열과 동의어이며 큰 값(예: kl/r > 100)은 좌굴에 매우 취약한 가느다란 기둥의 대명사입니다.

설계에 대한 임계 응력(σ_cr)은재료의 수율 강도(σ_y)에의해 제한된다는 점에 유의해야 한다. 이 제약 조건은 주어진 강철 강도의 경우 σ_y = F_y = 50 ksi라고 말하며 좌굴이 발생하지 않는 슬림함이 있음을 의미합니다. eq. (10)에서 σ_cr = 50 ksi를 동일시하는 경우, 한계 가느다란 것은 kl/r < 75.6입니다.

또 다른 중요한 주의 사항은 위의 제형이 축 부하가 임계 값(P_cr)에도달하면 좌굴이 갑자기 발생할 것임을 나타낸다는 것입니다. 수학적으로, 이 사실은 좌굴이 분기 문제임을 나타냅니다. 초기 결점, 우발적 인 편심 및 다른 요인 들 사이에서 잔류 응력으로 인해 탄성 좌굴 응력과 스쿼시 부하 사이의 전환이 있을 것입니다. 이러한 초기 결함의 결과는 실제 생활에서 탄성 좌굴 곡선과 항복 제한 상태 사이의 원활한 전환이 있을 것이라는 점입니다.

이 시점에서, 논의에서 불안정 또는 좌굴 현상이 발생할 수있는 많은 중 하나일 뿐이라는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 불안정은 지역 및 글로벌 수준에서 발생합니다. 전역 수준 불안정은 모든 요소(요소가 셰이프를 구성하는 직사각형 섹션으로 정의)가 좌굴 하는 동안 함께 이동하는 경우입니다. 로컬 좌굴은 요소 중 하나만 이동할 때 발생합니다. 글로벌 좌굴의 예는 다음과 같습니다.

• 위에서 논의 한 경우인 굴곡 좌굴.
• 이 단면이 세로 중심에 대해 왜곡되는 비틀림 좌굴. 비틀림 강성이 작은 단면(J)은 이러한 유형의 실패에 취약합니다.
• 플렉스 비틀-비틀림 또는 측면-비틀림 좌굴, 글로벌 좌굴의 처음 두 가지 유형의 조합이며 빔에 대 한 주요 불안정 모드.
• 좌굴은 대각선 방향으로 장력 필드의 형성으로 인해 깊은 거더의 얇은 웹에서 발생하는 전단 좌굴.

섹션은 로컬로 버클할 수도 있습니다. 이는 열의 각 섹션이 개별적으로 플레이트로 좌굴하는 것과 유사합니다. 로컬 좌굴은 단면의 폭 대 두께 비율(b/t) 또는 슬림비율 및 플레이트의 종횡비(b/a, 길이)에 의해 좌우됩니다. 슬림성은 플레이트의 두 모서리가 다른 섹션(경화 된 케이스)에 연결되어 있는지 또는 하나의 모서리만 연결되어 있는지 여부에 따라 달라집니다 (고정되지 않은 케이스). 폭 b 및 두께 t의플레이트에 대한 좌굴 용량, 열에 대한 Eq. (10)와 유사, 에 의해 주어진다 :

(Eq. 11)

좌굴 계수 K는 플레이트의 경계 조건과 종횡비(길이 대 너비)를 반영합니다. K의 값은 구조 설계 핸드북에서 널리 사용할 수 있습니다.

테이블의 결과를 Eq. 9가 부여한 곡선과 함께 좌굴 응력 대 슬림성(kL/r)으로 플롯합니다. 예상 값과 결과를 비교합니다. 실험 결과는 두 개의 뚜렷한 영역을 보여줍니다. 열이 상대적으로 길면 Eq. 9를 열 영역별로 곱하여 중요한 부하가 주어집니다. 열이 짧아지기 시작하면 임계 하중이 재질의 강도에 접근하기 시작합니다. 이 시점에서 동작은 순전히 탄성 하나에서 기둥의 스쿼시 하중에 접근하는 부분 적인 비탄력성 으로 이동합니다. 열이 탄력적으로 버클되면 변형이 갑자기 커져버클 된 부재 또는 버클 멤버가 부하를 흘리면서 과부하가 되는 인접한 멤버에서 실패를 트리거할 수 있습니다. 따라서, 설계에서 기본 구조 구성원에서 탄성 좌굴 오류를 방지하는 것이 중요하다.

이 실험은 간단한 열에 대한 로컬 좌굴 부하를 계산하기 위한 오일러 접근 방식의 유효성을 입증했습니다. 경계 조건이 잘 알려지지 않은 경우 문제가 훨씬 더 복잡해지지만, 부재는 프리즘이 아니며 재료가 이중 선형 응력 변형 곡선을 나타내지 않으면 문제의 해결 방법은 동일한 일반 프로세스를 따릅니다. 많은 실용적인 경우 결과 차등 방정식을 정확하게 해결할 수는 없지만 이러한 문제에 대한 해결책을 근사화하기 위해 적용할 수 있는 많은 수치 기술이 있습니다. 좌굴의 중요성은 철강 구조물의 성공적인 설계가 좌굴 문제의 좋은 이해에 근거하고 있으며, 철근 콘크리트 구조물의 성공적인 설계는 좋은 디테일을 기반으로 하는 건설 업계의 격언으로 인정받고 있습니다.

설계의 경제성에서 재료의 양을 최소화해야 합니다. 재료 비용이 전체 구조 비용의 상당 부분을 차지하는 금속 건물 및 교량 구조물의 경우 이러한 세부 사항이 특히 그렇습니다. 일반적으로 비용을 최소화하면 L/r이가장 낮습니다. 고정 L의 경우, 이는 W자형 멤버의 광범위한 사용으로 이어지는 가장 큰 R(또는 지정된 A의 경우 가장 큰 I)를 얻는 것을 의미합니다. 고정 r의경우 이는 B레이싱 멤버의 사용을 수반하는 L을 줄이는 것을 의미합니다. W 셰이프의 경우 I_x와 I_y,해당(kL/r)_x 및 (kL/r)_y가모두 있습니다. 최적의 설계의 경우 이러한 두 값은 서로 가까워야 하며, 이는 y 방향에서 더 많은 브레이싱을 제공함으로써 얻어지는 경우가 많습니다. 좌굴을 방지하는 또 다른 방법은 접시의 좌굴 길이를 줄이는 경직기를 추가하는 것입니다. 이들의 예로는 브리지 플레이트 거더의 딱딱한 뻣뻣함과 냉기 구조 원내의 입술 강화 등이 있습니다.