21.5 : Frekans Alanında Doğrusal Yaklaşım

Doğrusal sistemler iki ana özellik ile karakterize edilir: süperpozisyon ve homojenlik. Süperpozisyon, birden fazla girdiye verilen yanıtın her bir tekil girdiye verilen yanıtların toplamı olmasını sağlar. Homojenlik, bir girdinin bir skaler ile ölçeklenmesinin sonucunda yanıtın da aynı skaler ile ölçeklenmesini sağlar.

Buna karşılık, doğrusal olmayan sistemler bu özelliklere doğası gereği sahip değildir. Ancak, bir çalışma noktası etrafındaki küçük sapmalar için, doğrusal olmayan bir sisteme genellikle doğrusal olarak yaklaşılabilir. Bu yaklaşıklık, bir fonksiyonu belirli bir noktadaki türevleri açısından ifade eden Taylor serisi genişlemesi yoluyla elde edilir. Küçük sapmalar için daha yüksek mertebeden terimleri ihmal ederek doğrusal bir ilişki elde edilir.

Doğrusal olmayan bir direnç içeren bir RL devresini düşünün. Bu sistemi analiz etmek için, transfer fonksiyonunu türetmeden önce doğrusallaştırma gereklidir.

İlk adım, Kirchhoff'un gerilim yasasını devreye uygulamayı içerir ve bu da sistemi tanımlayan, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemle sonuçlanır. Örneğin, gerilim yasası denklemi şu biçimi alabilir:

Burada V(t) uygulanan gerilim, L endüktans, R direnç ve E pil gerilimini temsil eder.

Sabit durum akımını bulmak için, küçük sinyal kaynağını sıfıra ayarlayalım ve denge akımı i_0 için çözelim. Doğrusal olmayan diferansiyel denklem daha sonra bu denge durumundan sapmalar açısından yeniden yazılır:

Doğrusal olmayan direncin özellikleri, doğrusallaştırılmış diferansiyel denklemi türetmek için kullanılır. Akımdaki küçük sapmalar için, voltaj denklemi şu şekilde yazılabilir:

Bu yaklaşımı voltaj yasası denklemine koyduğumuzda, doğrusal bir diferansiyel denklem elde ederiz. Bilinen değerleri yerine koyalım. Sıfır başlangıç koşullarını esas alarak Laplace dönüşümü yaptığımızda diferansiyel denklem, Laplace domainde cebirsel bir denkleme dönüşür.