21.5 :  Линейная аппроксимация в частотном домене

Линейные системы характеризуются двумя основными свойствами: суперпозицией и однородностью. Суперпозиция позволяет представить отклик на несколько входов суммой откликов на каждый отдельный вход. Однородность гарантирует, что масштабирование входа скаляром приводит к тому, что ответ масштабируется тем же скаляром.

Напротив, нелинейные системы изначально не обладают этими свойствами. Однако, при небольших отклонениях вокруг рабочей точки нелинейную систему часто можно аппроксимировать как линейную. Это приближение достигается с помощью разложения в ряд Тейлора, которое выражает функцию через ее производные в определенной точке. Пренебрегая членами более высокого порядка для небольших отклонений, получаем линейную зависимость.

Рассмотрим RL-цепь, содержащую нелинейный резистор. Для анализа этой системы перед выводом передаточной функции необходима линеаризация.

Первый шаг включает применение закона напряжения Кирхгофа к цепи, что приводит к нелинейному дифференциальному уравнению, описывающему систему. Например, уравнение закона напряжения может иметь вид:

Где V(t) — приложенное напряжение, L — индуктивность, R — сопротивление, а E представляет напряжение батареи.

Чтобы найти установившийся ток, мы принимаем источник малого сигнала равным нулю и решаем уравнение для равновесного тока i_0. Затем нелинейное дифференциальное уравнение переписывается в терминах отклонений от этого равновесия:

Характеристики нелинейного резистора используются для вывода линеаризованного дифференциального уравнения. При малых отклонениях тока уравнение напряжения можно записать так:

Подставляя это приближение в уравнение закона напряжения, получаем линейное дифференциальное уравнение. При подстановке известных значений и предположении нулевых начальных условий применяется преобразование Лапласа для преобразования дифференциального уравнения в алгебраическое уравнение в области Лапласа.