JoVE Logo

Войдите в систему

21.5 :  Линейная аппроксимация в частотном домене

Линейные системы характеризуются двумя основными свойствами: суперпозицией и однородностью. Суперпозиция позволяет представить отклик на несколько входов суммой откликов на каждый отдельный вход. Однородность гарантирует, что масштабирование входа скаляром приводит к тому, что ответ масштабируется тем же скаляром.

Напротив, нелинейные системы изначально не обладают этими свойствами. Однако, при небольших отклонениях вокруг рабочей точки нелинейную систему часто можно аппроксимировать как линейную. Это приближение достигается с помощью разложения в ряд Тейлора, которое выражает функцию через ее производные в определенной точке. Пренебрегая членами более высокого порядка для небольших отклонений, получаем линейную зависимость.

Рассмотрим RL-цепь, содержащую нелинейный резистор. Для анализа этой системы перед выводом передаточной функции необходима линеаризация.

Figure1

Первый шаг включает применение закона напряжения Кирхгофа к цепи, что приводит к нелинейному дифференциальному уравнению, описывающему систему. Например, уравнение закона напряжения может иметь вид:

Equation1

Где V(t) — приложенное напряжение, L — индуктивность, R — сопротивление, а E представляет напряжение батареи.

Чтобы найти установившийся ток, мы принимаем источник малого сигнала равным нулю и решаем уравнение для равновесного тока i_0. Затем нелинейное дифференциальное уравнение переписывается в терминах отклонений от этого равновесия:

Equation2

Характеристики нелинейного резистора используются для вывода линеаризованного дифференциального уравнения. При малых отклонениях тока уравнение напряжения можно записать так:

Equation3

Подставляя это приближение в уравнение закона напряжения, получаем линейное дифференциальное уравнение. При подстановке известных значений и предположении нулевых начальных условий применяется преобразование Лапласа для преобразования дифференциального уравнения в алгебраическое уравнение в области Лапласа.

Теги

Linear ApproximationFrequency DomainLinear SystemsSuperpositionHomogeneityNonlinear SystemsTaylor Series ExpansionRL CircuitNonlinear ResistorTransfer FunctionKirchhoff s Voltage LawDifferential EquationSteady state CurrentSmall signal SourceEquilibrium CurrentLaplace Transform

Из главы 21:

article

Now Playing

21.5 : Линейная аппроксимация в частотном домене

Modeling in Time and Frequency Domain

85 Просмотры

article

21.1 : Передаточная функция в системах управления

Modeling in Time and Frequency Domain

316 Просмотры

article

21.2 : Электрические системы

Modeling in Time and Frequency Domain

370 Просмотры

article

21.3 : Механические системы

Modeling in Time and Frequency Domain

171 Просмотры

article

21.4 : Электромеханические системы

Modeling in Time and Frequency Domain

915 Просмотры

article

21.6 : Представление в пространстве состояний

Modeling in Time and Frequency Domain

162 Просмотры

article

21.7 : Перенос функции в пространство состояний

Modeling in Time and Frequency Domain

191 Просмотры

article

21.8 : Пространство состояний для функции передачи

Modeling in Time and Frequency Domain

171 Просмотры

article

21.9 : Линейная аппроксимация во временной области

Modeling in Time and Frequency Domain

60 Просмотры

JoVE Logo

Исследования

Образование

О JoVE

Авторские права © 2025 MyJoVE Corporation. Все права защищены