21.5 : Approximation linéaire dans le domaine fréquentiel

Les systèmes linéaires sont caractérisés par deux propriétés principales : la superposition et l'homogénéité. La superposition permet à la réponse à entrées multiples d'être la somme des réponses à chaque entrée individuelle. L'homogénéité garantit que la mise à l'échelle d'une entrée par un scalaire entraîne la mise à l'échelle de la réponse par le même scalaire.

En revanche, les systèmes non linéaires ne possèdent pas intrinsèquement ces propriétés. Cependant, pour de petites déviations autour d'un point de fonctionnement, un système non linéaire peut souvent être considéré comme linéaire. Cette approximation est obtenue grâce au développement en série de Taylor, qui exprime une fonction en termes de ses dérivées en un point spécifique. En négligeant les termes d'ordre supérieur pour les petits écarts, on obtient une relation linéaire.

Considérons un circuit RL contenant une résistance non linéaire. Pour analyser ce système, une linéarisation est nécessaire avant de déterminer la fonction de transfert.

La première étape consiste à appliquer la loi de tension de Kirchhoff au circuit, ce qui donne une équation différentielle non linéaire qui décrit le système. Par exemple, l'équation de la loi de tension pourrait prendre la forme suivante :

Où V(t) est la tension appliquée, L est l'inductance, R est la résistance et E représente la tension de la batterie.

Pour trouver le courant en régime permanent, nous réglons la source de petit signal à zéro et résolvons le courant d'équilibre i_0. L'équation différentielle non linéaire est ensuite réécrite en termes d'écarts par rapport à cet équilibre :

Les caractéristiques de la résistance non linéaire sont utilisées pour dériver l'équation différentielle linéarisée. Pour de faibles écarts de courant, l'équation de tension peut s'écrire comme suit :

En substituant cette approximation dans l'équation de la loi de tension, nous obtenons une équation différentielle linéaire. En substituant les valeurs connues et en supposant des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace est appliquée pour convertir l'équation différentielle en une équation algébrique dans le domaine de Laplace.