16.1 : Série trigonométrica de Fourier

A série de Fourier é uma técnica matemática fundamental que decompõe funções periódicas em uma série infinita de harmônicas sinusoidais. Este método permite a representação de sinais periódicos complexos como somas de funções seno e cosseno simples, facilitando sua análise e interpretação em vários campos, incluindo processamento de sinais, acústica e engenharia elétrica.

A série trigonométrica de Fourier expressa especificamente uma função periódica com um período definido T usando funções seno e cosseno. A forma geral da série trigonométrica de Fourier para uma função x(t) é:

Aqui, a_0 representa o valor médio da função em um período, enquanto a_n e b_n são os coeficientes de Fourier que quantificam a contribuição de cada função cosseno e seno, respectivamente. Esses coeficientes são determinados por meio da integração em um período T:

Essas integrais são essenciais para calcular os coeficientes exatos que reconstroem a função original a partir de seus componentes senoidais.

Para descrever com precisão uma função periódica usando uma série de Fourier, as condições de Dirichlet devem ser atendidas. A primeira condição estipula que a função deve ter uma integral finita em um período, garantindo que a função geral seja limitada. A segunda condição exige que a função tenha um número limitado de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo dado, garantindo que a função não exiba oscilações excessivas. A terceira condição determina que a função deve possuir um número finito de descontinuidades, nenhuma das quais é infinita. Essas condições garantem que a série de Fourier converge apropriadamente para a função original.

Em aplicações práticas, mesmo que essas condições não sejam estritamente satisfeitas, representações de séries de Fourier ainda podem ser construídas. Tais representações, embora potencialmente menos precisas, podem fornecer aproximações úteis para analisar e sintetizar funções periódicas. Essa flexibilidade ressalta a robustez e a utilidade da série de Fourier em várias aplicações matemáticas e de engenharia.