Szereg Fouriera to podstawowa technika matematyczna, która rozkłada funkcje okresowe na nieskończony szereg harmoniczny. Ta metoda umożliwia przedstawienie złożonych sygnałów okresowych jako sum prostych funkcji sinus i cosinus, ułatwiając ich analizę i interpretację w różnych dziedzinach, w tym w przetwarzaniu sygnałów, akustyce i elektrotechnice.

Trygonometryczny szereg Fouriera wyraża konkretnie funkcję okresową o określonym okresie T za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ogólna postać trygonometrycznego szeregu Fouriera dla funkcji x(t) to:

Tutaj a_0 reprezentuje średnią wartość funkcji w jednym okresie, podczas gdy a_n i b_n są współczynnikami Fouriera, które określają odpowiednio wkład każdej funkcji cosinus i sinus. Te współczynniki są określane poprzez całkowanie w ciągu jednego okresu T:

Te całki są niezbędne do obliczenia dokładnych współczynników, które rekonstruują oryginalną funkcję z jej składowych sinusoidalnych.

Aby dokładnie przedstawić funkcję okresową za pomocą szeregu Fouriera, muszą być spełnione warunki Dirichleta. Pierwszy warunek stanowi, że funkcja powinna mieć skończoną całkę w ciągu jednego okresu, zapewniając, że ogólna funkcja jest ograniczona. Drugi warunek wymaga, aby funkcja miała ograniczoną liczbę maksimów i minimów w dowolnym danym zakresie, zapewniając, że funkcja nie wykazuje nadmiernych oscylacji. Trzeci warunek nakazuje, aby funkcja posiadała skończoną liczbę nieciągłości, z których żadna nie jest nieskończona. Te warunki zapewniają, że szereg Fouriera zbiega się odpowiednio do oryginalnej funkcji.

W praktycznych zastosowaniach, nawet jeśli te warunki nie są ściśle spełnione, reprezentacje szeregów Fouriera często nadal mogą być konstruowane. Takie reprezentacje, choć potencjalnie mniej dokładne, mogą zapewnić użyteczne przybliżenia do analizy i syntezy funkcji okresowych. Ta elastyczność podkreśla solidność i użyteczność szeregów Fouriera w różnych zastosowaniach matematycznych i inżynieryjnych.