La série de Fourier est une technique mathématique fondamentale qui décompose les fonctions périodiques en une série infinie d'harmoniques sinusoïdales. Cette méthode permet de représenter des signaux périodiques complexes comme des sommes de fonctions sinus et cosinus simples, ce qui facilite leur analyse et leur interprétation dans divers domaines, notamment le traitement du signal, l'acoustique et l'électrotechnique.

La série de Fourier trigonométrique exprime spécifiquement une fonction périodique avec une période définie T à l'aide de fonctions sinus et cosinus. La forme générale de la série de Fourier trigonométrique pour une fonction x(t) est la suivante :

Ici, a_0 représente la valeur moyenne de la fonction sur une période, tandis que a_n et b_n sont les coefficients de Fourier qui quantifient la contribution de chaque fonction cosinus et sinus, respectivement. Ces coefficients sont déterminés par intégration sur une période T :

Ces intégrales sont essentielles pour calculer les coefficients exacts qui reconstruisent la fonction d'origine à partir de ses composantes sinusoïdales.

Pour représenter correctement une fonction périodique à l'aide d'une série de Fourier, les conditions de Dirichlet doivent être remplies. La première condition stipule que la fonction doit avoir une intégrale finie sur une période, ce qui garantit que la fonction globale est délimitée. La deuxième condition exige que la fonction ait un nombre limité de maxima et de minima dans un intervalle donné, ce qui garantit que la fonction ne présente pas d'oscillations excessives. La troisième condition impose que la fonction possède un nombre fini de discontinuités, dont aucune n'est infinie. Ces conditions garantissent que la série de Fourier converge de manière appropriée vers la fonction d'origine.

Dans les applications pratiques, même si ces conditions ne sont pas strictement satisfaites, il est souvent possible de construire des représentations en série de Fourier. De telles représentations, bien que potentiellement moins précises, peuvent fournir des approximations utiles pour l'analyse et la synthèse de fonctions périodiques. Cette flexibilité souligne la robustesse et l'utilité des séries de Fourier dans diverses applications mathématiques et techniques.