En traitement du signal, l'analyse des signaux continus, notés x(t), implique souvent des techniques d'échantillonnage pour convertir ces signaux en signaux discrets. Ce processus est essentiel pour la représentation et la manipulation numériques. Un élément essentiel de l'échantillonnage est le train d'impulsions, caractérisé par l'intervalle d'échantillonnage et la fréquence d'échantillonnage. La relation entre ces paramètres et les propriétés du signal d'origine détermine le succès du processus d'échantillonnage.

La multiplication du signal continu par le train d'impulsions produit une série d'impulsions discrètes. Cette opération produit un signal échantillonné, qui peut être analysé dans le domaine fréquentiel à l'aide de la transformée de Fourier. La transformée de Fourier révèle que le spectre du signal échantillonné se compose de plusieurs versions décalées du spectre du signal d'origine. Ces copies spectrales sont espacées par la fréquence d'échantillonnage.

Un principe fondamental de la théorie de l'échantillonnage est que pour éviter le chevauchement entre ces spectres décalés, la fréquence d'échantillonnage doit être suffisamment élevée. Plus précisément, la fréquence d'échantillonnage fsf_sfs doit être supérieure à deux fois la fréquence la plus élevée présente dans le signal d'origine, une condition connue sous le nom de fréquence de Nyquist. Lorsque fsf_sfs atteint ou dépasse cette fréquence, les spectres ne se chevauchent pas, ce qui garantit que le signal d'origine peut être parfaitement reconstruit à partir de ses échantillons. Cette exigence est résumée dans le théorème d'échantillonnage, qui stipule que pour un signal à bande limitée, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois la composante de fréquence la plus élevée du signal.

Lorsqu'un signal est échantillonné à une fréquence supérieure à la fréquence de Nyquist, il est considéré comme suréchantillonné. Le suréchantillonnage peut offrir des avantages tels qu'une réduction du bruit et une conception de filtre numérique plus simple. Inversement, si la fréquence d'échantillonnage est inférieure à la fréquence de Nyquist, le signal est sous-échantillonné, ce qui conduit à un phénomène connu sous le nom d'aliasing. L'aliasing fait que différentes composantes de fréquence deviennent indiscernables les unes des autres, ce qui déforme le signal reconstruit.

Dans les applications pratiques, le respect du taux de Nyquist est crucial pour une représentation numérique et une reconstruction précise des signaux analogiques. Ce principe sous-tend diverses technologies, notamment l'audio numérique, les télécommunications et l'imagerie médicale, car il garantit que les signaux peuvent être échantillonnés, traités et reconstruits sans perte d'informations essentielles.