25.4 : Déflexion d'une poutre

La détermination précise de la déflexion et de la pente des poutres dans diverses conditions de charge en ingénierie des structures est cruciale pour garantir la sécurité et l'intégrité structurelle. Les fonctions de singularité offrent une approche rationalisée de l'analyse des poutres, en particulier lorsque plusieurs fonctions de chargement compliquent l'équation du moment de flexion.

Les fonctions de singularité, décrites dans une leçon précédente, sont de puissants outils mathématiques qui représentent les discontinuités au sein d'une fonction couramment rencontrées dans les scénarios de chargement structurel. Ces fonctions permettent d'exprimer les équations de la force de cisaillement et du moment de flexion de manière compacte, même sous des charges complexes ou multiples.

Pour une poutre prismatique, généralement uniforme sur toute sa longueur et supportée aux deux extrémités, une charge excentrique présente des défis spécifiques. La force de cisaillement en tout point d'une telle poutre peut être modélisée à l'aide de fonctions de singularité. Ces fonctions gèrent facilement les discontinuités introduites par les charges appliquées à des points spécifiques ou sur certains intervalles, comme une charge représentée comme une fonction échelonnée dans le diagramme des forces de cisaillement.

Le moment de flexion, dérivé de l'intégration de la fonction de force de cisaillement, est essentiel pour évaluer les performances de la poutre. Cette étape affecte la répartition des contraintes de la poutre et la déflexion globale. La déflexion de la poutre est déterminée en intégrant deux fois la fonction de moment de flexion et en appliquant les conditions aux limites de la poutre pour résoudre les constantes d'intégration. L'utilisation de fonctions de singularité pour modéliser les forces de cisaillement et les moments de flexion élimine le besoin de plusieurs constantes supplémentaires et d'équations complexes, simplifiant ainsi les calculs et améliorant l'efficacité des calculs. Cette méthode permet d'évaluer facilement différentes conditions de chargement sur la déflexion des poutres et la répartition des contraintes, essentielles à la conception et à la maintenance sûres des systèmes structurels.