La serie de Fourier de Tiempo Discreto (DTFS) es un concepto fundamental en el procesamiento de señales, que sirve como contraparte en tiempo discreto de la serie de Fourier de tiempo continuo. Permite la representación y el análisis de señales periódicas de tiempo discreto en términos de sus componentes de frecuencia. A diferencia de su contraparte continua, que utiliza integrales, el cálculo de los coeficientes de expansión de DTFS implica sumas debido a la naturaleza discreta de la señal.

Para una señal periódica de tiempo discreto x[n] con período N_0, los coeficientes DTFS X[k] se calculan utilizando la fórmula:

Donde k=0,1,2,…,N_0−1. Estos coeficientes X[k] representan la señal en el dominio de la frecuencia, capturando la amplitud y la fase de cada componente de frecuencia.

Para determinar la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) a una señal periódica en el tiempo discreto, se sigue un enfoque sistemático:

1. Calcular el DTFS de la señal de entrada: Calcular los coeficientes DTFS X[k] para la señal de entrada x[n].
2. Calcular la respuesta de salida para cada término DTFS: Utilizar la respuesta de frecuencia del sistema H(e^(jΩ)) para determinar la salida para cada componente de frecuencia. Los coeficientes DTFS de salida Y[k] se dan por

   

   donde Ω =2πk/N

3. Sumar las respuestas: Finalmente, sumar las contribuciones de todos los términos DTFS para obtener la señal de salida total en el dominio del tiempo.

En las señales de tiempo continuo, la periodicidad se define con respecto a un período T, correspondiente a frecuencias circulares y angulares. En el caso de una señal de tiempo discreto, la periodicidad está asociada a una frecuencia angular fundamental Ω_k = 2πk/N_0, donde N_0 es el período de la señal discreta. La expansión DTFS es finita y consta de términos N, en contraste con la serie infinita de las series de Fourier de tiempo continuo.

DTFS desempeña un papel crucial en el procesamiento de señales digitales (DSP), en particular en el análisis y la manipulación de señales periódicas derivadas de datos muestreados. Es fundamental en tareas como la identificación de frecuencias específicas dentro de las señales de audio, la mejora o supresión de ciertos componentes de frecuencia y el filtrado de ruido no deseado. Al transformar las señales en el dominio de la frecuencia, DTFS facilita el análisis y procesamiento eficiente de señales, lo que permite un mejor rendimiento en diversas aplicaciones, como telecomunicaciones, ingeniería de audio y sistemas de control.