离散时间傅里叶级数 (DTFS) 是信号处理中的一个基本概念，是连续时间傅里叶级数的离散时间对应项。它允许根据频率分量来表示和分析离散时间周期信号。与利用积分的连续对应项不同，由于信号的离散性质，DTFS 展开系数的计算涉及求和。
对于周期为 N_0 的离散时间周期信号 x[n]，DTFS 系数 X[k] 使用以下公式计算：
其中 k=0,1,2,…,N_0−1。这些系数 X[k] 表示频域中的信号，捕获每个频率分量的幅度和相位。
要确定线性时不变 (LTI) 系统对离散时间周期信号的响应，可采用系统方法：
- 计算输入信号的 DTFS：计算输入信号 x[n] 的 DTFS 系数 X[k]。
-
计算每个 DTFS 项的输出响应：使用系统的频率响应 H(e^(jΩ)) 确定每个频率分量的输出。输出 DTFS 系数 Y[k] 由
给出，其中 Ω =2πk/N。
- 求和响应：最后，求和所有 DTFS 项的贡献，以获得时域中的总输出信号。
在连续时间信号中，周期性是根据周期 T 定义的，对应于圆频率和角频率。对于离散时间信号，周期性与基本角频率 Ω_k =2πk/N 相关，其中 N_0 是离散信号的周期。DTFS 展开是有限的，由 N 项组成，与连续时间傅里叶级数中的无穷级数形成对比。
DTFS 在数字信号处理 (DSP) 中起着至关重要的作用，特别是在分析和处理来自采样数据的周期信号时。它有助于完成诸如识别音频信号中的特定频率、增强或抑制某些频率分量以及滤除不需要的噪声等任务。通过将信号转换为频域，DTFS 有助于实现高效的信号分析和处理，从而提高电信、音频工程和控制系统等各种应用的性能。
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