25.6 : Momentflächensätze

Das Moment-Flächen-Theorem ist im Bauingenieurwesen von entscheidender Bedeutung für die Analyse der Balkenbiegung, insbesondere bei Anwendungen wie Gebäudebodenstützen. Dieser Satz nutzt die geometrischen Eigenschaften der elastischen Kurve, die darstellt, wie sich ein Balken unter Last verformt, um die Berechnung von Durchbiegungen und Neigungen zu vereinfachen.

Der Satz ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil verbindet den Winkel zwischen Tangenten an zwei beliebigen Punkten auf der elastischen Kurve des Balkens mit der Fläche unter einer Kurve, die durch Auftragen der Größe M/EI abgeleitet wird (wobei M das Biegemoment, E der Elastizitätsmodul und I der Trägheitsmoment ist) gegenüber der Durchbiegung des Balkens entlang seiner Länge. Die Fläche unter dieser Kurve entspricht direkt der Gesamtrotation zwischen diesen beiden Punkten.

Der zweite Teil des Theorems befasst sich mit der tangentialen Abweichung – oder der vertikalen Verschiebung – zwischen zwei beliebigen Punkten, die sich aus der Biegung des Balkens ergibt. Darin heißt es, dass diese Abweichung dem ersten Moment der Fläche unter der M/EI-Kurve um eine vertikale Achse durch einen dieser Punkte entspricht und ein Maß für die Verschiebung des Balkensegments von seiner ursprünglichen Position darstellt. Diese Theoreme bestimmen effizient die Neigung und Durchbiegung an verschiedenen Punkten entlang eines Trägers, was für die Gewährleistung der strukturellen Sicherheit und Leistung unter Last von entscheidender Bedeutung ist.