17.2 : Fourier Dönüşümünün Temel Sinyalleri

Fourier Dönüşümü, sinyal işlemede temel bir matematiksel araçtır ve zaman-domain sinyallerinin frekans-domain gösterimlerine dönüştürülmesini sağlar. Bu alandaki sayısız eleman arasında, sinc fonksiyonu, delta fonksiyonu ve üstel sinyaller gibi belirli fonksiyonlar, benzersiz özellikleri ve etkileri nedeniyle önemli bir öneme sahiptir.

Sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanan sinc fonksiyonu, sıfırdaki simetrisi ve davranışıyla özellikle dikkat çekicidir. Bağımsız değişkeni sıfır olduğunda bir değerine ulaşır ve y ekseninde çift simetri gösterir. Bu fonksiyon, frekans-domainde dikdörtgen bir darbenin Fourier dönüşümü olarak belirgin bir şekilde ortaya çıkar. Belirli bir aralıktaki sabit genliğiyle karakterize edilen dikdörtgen bir darbe, bir sinc fonksiyonuna dönüşür. Ortaya çıkan sinc fonksiyonu, orijinde belirgin bir tepe noktasıyla simetriktir ve merkezden uzaklaştıkça loblarının genlikleri azalır. Bu dönüşüm, zaman-domaindeki dikdörtgen bir darbenin sonsuz bir harmonik frekans serisinden oluştuğunu gösterir.

Delta fonksiyonu veya Dirac delta fonksiyonu, Fourier dönüşümlerinin incelenmesinde bir diğer kritik unsurdur. Sıfır hariç her yerde sıfır olarak tanımlanır, sıfırda sonsuz büyüklüktedir ve tüm reel doğru üzerindeki integrali bire eşittir. Bir delta fonksiyonunun Fourier dönüşümü tüm frekanslarda sabit bir değer verir, bu da delta fonksiyonunun tüm frekansları eşit büyüklükte kapsadığını gösterir. Bu özellik, delta fonksiyonunu sinyalleri analiz etmek ve sentezlemek için olmazsa olmaz bir araç haline getirir çünkü evrişim yoluyla diğer fonksiyonları oluşturur.

e^jwt biçimindeki karmaşık değerli fonksiyonlarla temsil edilen üstel sinyaller, belirli frekanslardaki sinüzoidal salınımları tanımlamada temeldir. Üstel bir sinyal bir Fourier dönüşümüne uğradığında sonuç, frekans-domaindeki karşılık frekansında tek bir darbedir. Bu dönüşüm, üstel sinyalin saf frekans içeriğini vurgular ve herhangi bir harmonik içermeyen tek bir frekans bileşeninden oluştuğunu gösterir.