17.2 : Основные сигналы преобразования Фурье

Преобразование Фурье является основным математическим инструментом в обработке сигналов, позволяющим преобразовывать сигналы временного домена в их представления в частотном домене. Среди многочисленных элементов в этом домене определенные функции, такие как функция sinc, дельта-функция и экспоненциальные сигналы, имеют важное значение из-за их уникальных свойств и последствий их применений.

Функция sinc, определяемая как sinc(x) = sin(πx)/(πx), особенно примечательна своей симметрией и поведением в нуле. Она достигает значения единицы, когда ее аргумент равен нулю, и демонстрирует чётную симметрию относительно оси y. Эта функция примечательна в частотном домене как преобразование Фурье прямоугольного импульса. Прямоугольный импульс, характеризующийся постоянной амплитудой в течение определенного интервала, преобразуется в функцию sinc. Результирующая функция sinc симметрична с выраженным пиком в начале координат, а ее лепестки уменьшаются по амплитуде по мере удаления от центра. Это преобразование показывает, что прямоугольный импульс во временном домене состоит из бесконечного ряда гармонических частот.

Дельта-функция, или дельта-функция Дирака, является еще одним критическим элементом в изучении преобразований Фурье. Она определяется как равная нулю везде, кроме нуля, где она бесконечно велика, так что ее интеграл по всей действительной оси равен единице. Преобразование Фурье дельта-функции дает постоянное значение на всех частотах, указывая на то, что дельта-функция охватывает все частоты с одинаковой величиной. Это свойство делает дельта-функцию важным инструментом для анализа и синтеза сигналов, поскольку она служит основой для построения других функций посредством свёртки.

Экспоненциальные сигналы, представленные комплекснозначными функциями вида e^jωt, являются основополагающими для описания синусоидальных колебаний на определенных частотах. Когда экспоненциальный сигнал подвергается преобразованию Фурье, результатом является один импульс на соответствующей частоте в частотном домене. Это преобразование подчеркивает чистое частотное содержимое экспоненциального сигнала, иллюстрируя, что он состоит из одного частотного компонента без каких-либо гармоник.