24.4 : Proprietà del luogo delle radici

Il metodo del luogo delle radici è uno strumento prezioso per analizzare i sistemi di ordine superiore senza dover fattorizzare il denominatore della funzione di trasferimento. Un polo del sistema viene identificato quando il polinomio caratteristico nel denominatore della funzione di trasferimento è uguale a zero.

Per determinare se un punto si trova sul luogo delle radici, il criterio implica la somma degli angoli costituiti da tutti i poli e gli zeri in quel punto. Nello specifico, questa somma dev’essere un multiplo dispari di 180°. Il guadagno in qualsiasi punto sul luogo delle radici si trova dividendo il prodotto delle lunghezze dai poli al punto per il prodotto delle lunghezze dagli zeri al punto.

Per un sistema di feedback unitario, la funzione di trasferimento può essere analizzata usando questo metodo. L'angolo in un punto specifico sul luogo delle radici viene calcolato sommando gli angoli dagli zeri e dai poli del sistema a quel punto. Per verificare se un punto fa parte del luogo delle radici, questa somma dev’essere uguale ad un multiplo dispari di 180°.

Una volta che un punto è confermato essere sul luogo delle radici, il guadagno in quel punto può essere determinato confrontando le distanze dai poli e dagli zeri del sistema al punto. Questo comporta il calcolo del prodotto delle distanze da ciascun polo al punto, e la divisione per il prodotto delle distanze da ciascuno zero al punto.

Questo metodo è particolarmente utile nella progettazione e nell'analisi dei sistemi di controllo perché consente agli ingegneri di prevedere come i cambiamenti nei parametri del sistema influenzano la stabilità e la risposta. Grazie alla comprensione del luogo delle radici, gli ingegneri possono progettare dei sistemi che mantengono le caratteristiche di prestazione desiderate, garantendo la stabilità in una serie di condizioni operative.

In sintesi, il metodo del luogo delle radici fornisce un approccio sistematico all'analisi di sistemi di ordine superiore concentrandosi sugli angoli e sulle distanze dai poli e dagli zeri ad un punto dato. Questa tecnica aiuta a confermare la stabilità e le prestazioni di un sistema sotto dei guadagni variabili, rendendolo uno strumento essenziale nella progettazione e nell'analisi del sistema di controllo.