24.4 : Propriétés du lieu des racines

La méthode du lieu des racines est un outil précieux pour analyser les systèmes d'ordre supérieur sans avoir à factoriser le dénominateur de la fonction de transfert. Un pôle du système est identifié lorsque le polynôme caractéristique du dénominateur de la fonction de transfert est égal à zéro.

Pour déterminer si un point se trouve sur le lieu des racines, le critère implique la somme des angles formés depuis tous les pôles et les zéros jusqu'à ce point. Plus précisément, cette somme doit être un multiple impair de 180 degrés. Le gain en tout point du lieu des racines est trouvé en divisant le produit des distances des pôles au point par le produit des distances des zéros au point.

Pour un système à rétroaction unitaire, la fonction de transfert peut être analysée à l'aide de cette méthode. L'angle à un point spécifique du lieu des racines est calculé en additionnant les angles des zéros et des pôles du système jusqu'à ce point. Pour vérifier si un point fait partie du lieu des racines, cette somme doit être égale à un multiple impair de 180 degrés.

Une fois qu'un point est confirmé comme étant sur le lieu de la racine, le gain à ce point peut être déterminé en comparant les distances entre les pôles et les zéros du système et le point. Cela implique de calculer le produit des distances de chaque pôle au point et de diviser par le produit des distances de chaque zéro au point.

Cette méthode est particulièrement utile dans la conception et l'analyse des systèmes de contrôle, car elle permet aux ingénieurs de prédire comment les changements dans les paramètres du système affectent la stabilité et la réponse. En comprenant le lieu des racines, les ingénieurs peuvent concevoir des systèmes qui maintiennent les caractéristiques de performance souhaitées, garantissant ainsi la stabilité dans toute une gamme de conditions de fonctionnement.

En résumé, la méthode du lieu des racines fournit une approche systématique pour analyser les systèmes d'ordre supérieur en se concentrant sur les angles et les distances des pôles et des zéros à un point donné. Cette technique permet de confirmer la stabilité et les performances d'un système sous des gains variables, ce qui en fait un outil essentiel dans la conception et l'analyse des systèmes de contrôle.