Nello studio dell'elaborazione del segnale a tempo discreto, comprendere le proprietà della trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è fondamentale per analizzare e manipolare i segnali nel dominio della frequenza. Diverse proprietà, tra cui la differenziazione di frequenza, la convoluzione, l'accumulazione e la relazione di Parseval, sono potenti strumenti per l'analisi del segnale.

La proprietà di differenziazione di frequenza è illustrata considerando una coppia DTFT e differenziando entrambi i lati rispetto a ω. Moltiplicando per j (l'unità immaginaria), il lato destro si trasforma nella trasformata di Fourier di nx[n]. Matematicamente, se X(e^(jω)) è il DTFT di x[n], allora j(d/dω(X(e^(jω))) è il DTFT di nx[n]. Questa proprietà è utile per trovare le caratteristiche di frequenza correlate alla pendenza dello spettro del segnale.

Quando si applica la convoluzione a tempo discreto alle coppie DTFT, si osserva un'altra proprietà importante. Cambiando l'ordine di sommatoria sul lato destro e applicando la proprietà di time-shifting, si arriva alla proprietà di convoluzione temporale. Essa afferma che la convoluzione di due segnali nel dominio del tempo corrisponde alla moltiplicazione dei loro DTFT nel dominio della frequenza. Al contrario, la moltiplicazione di due segnali nel dominio del tempo porta ad una convoluzione periodica dei loro DTFT nel dominio della frequenza, scalato dall'inverso del periodo.

La proprietà di accumulo si concentra sulla somma di un segnale a tempo discreto nel tempo. La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) di questo segnale accumulato è correlata alla DTFT del segnale originale ma è modificata da un fattore di scala esponenziale. Inoltre, c'è un termine che include una funzione delta, che introduce le componenti periodiche a intervalli di 2π nel dominio della frequenza. Questa proprietà evidenzia come l'accumulo nel dominio del tempo influenzi la rappresentazione della frequenza, portando a caratteristiche periodiche.

La relazione di Parseval è un risultato chiave che collega l'energia di un segnale nel dominio del tempo alla sua rappresentazione nel dominio della frequenza. In particolare, l'energia totale del segnale x[n], che è la somma delle grandezze al quadrato nel dominio del tempo, è uguale all'integrale delle grandezze al quadrato della sua DTFT. Questa relazione è fondamentale nell'analisi della potenza e dell'energia del segnale in entrambi i domini.

Nel complesso, queste proprietà migliorano la capacità di analizzare, progettare e comprendere i sistemi a tempo discreto, rendendoli indispensabili nell'elaborazione del segnale digitale.