17.8 : Eigenschaften der DTFT II

Beim Studium der zeitdiskreten Signalverarbeitung ist das Verständnis der Eigenschaften der zeitdiskreten Fourier-Transformation (DTFT) entscheidend für die Analyse und Handhabung von Signalen im Frequenzbereich. Mehrere Eigenschaften, darunter Frequenzdifferenzierung, Faltung, Akkumulation und Parsevals Beziehung, bieten leistungsstarke Werkzeuge für die Signalanalyse.

Die Eigenschaft der Frequenzdifferenzierung wird veranschaulicht, indem ein DTFT-Paar betrachtet und beide Seiten in Bezug auf ω differenziert werden. Durch Multiplikation mit j (der imaginären Einheit) wird die rechte Seite in die Fourier-Transformation von nx[n] umgewandelt. Wenn X(e^(jω)) die DTFT von x[n] ist, j(d/dω(X(e^(jω))) die DTFT von nx[n]. Diese Eigenschaft ist nützlich, um die Frequenzeigenschaften zu ermitteln, die mit der Steigung des Signalspektrums zusammenhängen.

Wenn wir die zeitdiskrete Faltung auf DTFT-Paare anwenden, beobachten wir eine weitere wichtige Eigenschaft. Indem wir die Reihenfolge der Summation auf der rechten Seite ändern und die Zeitverschiebungseigenschaft anwenden, gelangen wir zur Zeitfaltungseigenschaft. Diese besagt, dass die Faltung zweier Signale im Zeitbereich der Multiplikation ihrer DTFTs im Frequenzbereich entspricht. Umgekehrt führt die Multiplikation zweier Signale im Zeitbereich zu einer periodischen Faltung ihrer DTFTs im Frequenzbereich, skaliert mit dem Kehrwert der Periode.

Die Akkumulation konzentriert sich auf die Summierung eines zeitdiskreten Signals über die Zeit. Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) dieses akkumulierten Signals ist mit der DTFT des Originalsignals verwandt, wird jedoch durch einen exponentiellen Skalierungsfaktor modifiziert. Zusätzlich gibt es einen Term, der eine Delta-Funktion enthält, die periodische Komponenten in Intervallen von 2π im Frequenzbereich einführt. Diese Eigenschaft hebt hervor, wie sich die Akkumulation im Zeitbereich auf die Frequenzdarstellung auswirkt, was zu periodischen Merkmalen führt.

Parsevals Relation ist ein Schlüsselergebnis, das die Energie eines Signals im Zeitbereich mit seiner Darstellung im Frequenzbereich verknüpft. Insbesondere ist die Gesamtenergie des Signals x[n], die die Summe der quadrierten Größen im Zeitbereich ist, gleich dem Integral der quadrierten Größen seiner DTFT. Diese Relation ist grundlegend für die Analyse von Signalleistung und -energie in beiden Bereichen.

Diese Eigenschaften verbessern gemeinsam die Fähigkeit, zeitdiskrete Systeme zu analysieren, zu entwerfen und zu verstehen, und machen sie für die digitale Signalverarbeitung unverzichtbar.