17.1 : Trasformata di Fourier a tempo continuo

La serie di Fourier è fondamentale per rappresentare le funzioni periodiche, offrendo un metodo potente per scomporre tali funzioni in una somma di sinusoidi. Questa tecnica, tuttavia, necessita di modifiche quando viene applicata a delle funzioni non periodiche. Si consideri una forma d'onda a treno di impulsi formata da una serie di impulsi rettangolari. Quando questi impulsi hanno un periodo finito, possono essere rappresentati accuratamente da una serie di Fourier. Tuttavia, quando il periodo si avvicina all'infinito, risultando in un singolo impulso isolato, la somma discreta della serie di Fourier si trasforma in un integrale continuo noto come trasformata di Fourier.

La transizione dalla serie alla trasformata di Fourier è fondamentale per l'analisi di funzioni non periodiche. La serie di Fourier scompone una funzione periodica x(t) in una somma di seni e coseni, espressa come:

Dove x_n sono i coefficienti di Fourier e ω_0 è la frequenza angolare fondamentale. Quando il periodo della funzione si estende all'infinito, la frequenza fondamentale ω_0 tende a 0 e la sommatoria su frequenze discrete nω_0 evolve in un integrale su una variabile di frequenza continua ω:

Questo integrale definisce la trasformata di Fourier X(ω), che rappresenta la funzione originale x(t) nel dominio della frequenza.

Lo scetticismo iniziale sulla rappresentazione di qualsiasi funzione periodica con sinusoidi ha portato alla definizione delle condizioni di Dirichlet. Queste condizioni forniscono i criteri in base ai quali una funzione periodica può essere espansa in termini di sinusoidi. Nello specifico, una funzione x(t) può essere rappresentata da una serie di Fourier se la funzione ha discontinuità finite, un numero finito di massimi e minimi ed è assolutamente integrabile nel periodo.

Nelle applicazioni pratiche, in particolare nell'elaborazione delle immagini, la trasformata di Fourier svolge un ruolo cruciale. Aiuta a migliorare le immagini e a filtrare il rumore, rendendo i dettagli più distinti e nitidi. Con la trasformazione di un'immagine nel dominio della frequenza, possono essere applicate varie tecniche di filtraggio per enfatizzare determinate caratteristiche o per ridurre il rumore, quindi la trasformata di Fourier inversa viene usata per convertire l'immagine elaborata nuovamente nel dominio spaziale. Questo approccio è fondamentale nell'analisi delle immagini moderne, consentendo così tecniche avanzate nell'imaging medico, nel telerilevamento e nella fotografia digitale.