17.1 : התמרת פורייה בזמן רציף

טור פורייה הוא כלי חיוני לייצוג פונקציות מחזוריות, ומציע שיטה חזקה לפירוק של פונקציות כאלה לסכום של סינוסואידים. עם זאת, כאשר מתמודדים עם פונקציות לא מחזוריות, יש צורך בהתאמות. נבחן גל רכבת פולסים המורכב מסדרת פולסים מלבניים. כאשר לפולסים יש מחזור סופי, ניתן לייצג אותם בצורה מדויקת באמצעות טור פורייה. אולם, כאשר המחזור מתקרב לאינסוף, והתוצאה היא פולס בודד ומבודד, הסכום של טור פורייה מתמזג לאינטגרל רציף, המכונה התמרת פורייה.

המעבר מטור פורייה להתמרת פורייה הוא קריטי לניתוח פונקציות לא מחזוריות. טור פורייה מפרק פונקציה מחזורית (x(t לסכום של סינוסים וקוסינוסים, המובעים כך:

כאשר x_n הם מקדמי פורייה ו-ω_0​ היא תדירות הזווית הבסיסית. ככל שהמחזור של הפונקציה מתארך לאינסוף, התדירות הבסיסית ω_0 נוטה לאפס, והסכימה על תדירויות בדידות nω_0 הופכת לאינטגרל על משתנה תדר רציף ω:

אינטגרל זה מגדיר את התמרת פורייה (X(ω, המייצגת את הפונקציה המקורית (x(t במישור התדר.

הספקנות הראשונית לגבי היכולת לייצג כל פונקציה מחזורית באמצעות סינוסואידים הובילה לבנייתם של תנאי דיריכלה. תנאים אלו מספקים קריטריונים לפיהם ניתן להרחיב פונקציה מחזורית במונחים של סינוסואידים. באופן ספציפי, פונקציה (x(t ניתנת לייצוג על ידי טור פורייה אם לפונקציה יש מספר סופי של אי-רציפויות, מספר סופי של מקסימום ומינימום, והיא אינטגרבילית באופן מוחלט על פני המחזור.

ביישומים מעשיים, במיוחד בעיבוד תמונה, התמרת פורייה ממלאת תפקיד קריטי. היא מסייעת בשיפור תמונות וסינון רעשים, ובכך מבליטה פרטים והופכת אותם לחדים יותר. על ידי המרת תמונה למישור התדר, ניתן ליישם טכניקות סינון שונות כדי להדגיש מאפיינים מסוימים או להפחית רעש, ולאחר מכן להשתמש בהתמרת פורייה ההפוכה כדי להחזיר את התמונה המעובדת למישור המרחב. גישה זו מהווה בסיס לניתוח תמונות מודרני, ומאפשרת טכניקות מתקדמות בדימות רפואי, חישה מרחוק וצילום דיגיטלי.