17.7 : תכונות DTFT - I

בעיבוד אותות, התמרות פורייה בזמן בדיד (DTFT) ממלאות תפקיד קריטי בניתוח אותות בדידים במרחב התדר. תכונות שונות של DTFT, כמו לינאריות, היסט בזמן, היסט בתדר, היפוך בזמן, צימוד מרוכב, ושינוי קנה מידה בזמן, מסייעות להבין ולתפעל את האותות לצרכים שונים.

תכונת הליניאריות של DTFTs היא בסיסית. אם שני אותות זמן בדידים מוכפלים בקבועים a ו-b בהתאמה, ולאחר מכן משולבים ליצירת אות תוצאתי, ה-DTFT של האות התוצאתי היא הסכום המשוקלל של ה-DTFT של האותות הבודדים:

תכונת ההיסט בזמן של DTFTs מצביעה על כך שהשהיית אות ב- n_0 יחידות במרחב הזמן מוסיפה פאזה של e^−jωn0 ל-DTFT שלו.

תכונת היסט בתדר מתרחשת כאשר אות בזמן בדיד x[n] מוכפל באקספוננט מרוכב e^jω0n . הכפלה זו מזיזה את רכיבי התדר של האות ב-ω_0.

היפוך בזמן מציג תכונה מעניינת נוספת. אם אות x[n] מתהפך בזמן, כלומר x[−n], יהייצוג שלו במרחב התדר משתקף סביב המקור.

תכונת הצימוד המרוכבמגלה שלקיחת הצימוד המורכב של אות x[n], המסומן כ- x∗[n], מביאה ל-DTFT X∗(e^−jω), המשקף ומצמיד את מרכיבי התדר.

לבסוף, תכונת שינוי קנה המידה בזמן מדגימה שאם אות בזמן בדיד מוקטן או מוגדל על ידי גורם k, האות שומר על ערכיו רק בנקודות שהן כפולות של k. ה-DTFT של האות x[kn] מכווץ את רכיבי התדר לפי -k. לכן, ה-DTFT של x[kn] הוא X(e^jωk), המראה את הדחיסה של רכיבי תדר לפי הגורם k.

הבנת תכונות אלו מאפשרת עיבוד אותות יעיל, תוך סיוע ביישומים כמו סינון, מודולציה וניתוח אותות.