16.6 : Convergence des séries de Fourier

La série de Fourier est un outil mathématique puissant qui permet de représenter des signaux périodiques sous la forme d’une somme infinie d'exponentielles complexes. En pratique, cette série infinie est tronquée à un nombre fini de termes, ce qui donne une somme partielle. Cette troncature rend possible l'approximation du signal, mais introduit certaines difficultés, en particulier à proximité des discontinuités, connues sous le nom de phénomène de Gibbs.

Le phénomène de Gibbs fait référence aux oscillations et aux dépassements persistants qui se produisent près des discontinuités du signal lorsqu'il est approximé par une série de Fourier tronquée. Ces ondulations à haute fréquence ne disparaissent pas avec l'augmentation du nombre de termes ; au contraire, elles se compriment vers la discontinuité. Gibbs a été le premier à observer cet effet, en notant les ondulations et les dépassements caractéristiques qui persistent quel que soit le nombre de termes inclus dans la somme partielle.

Une stratégie permettant d’atténuer l'impact du phénomène de Gibbs consiste à augmenter le nombre de termes dans la somme partielle. Bien que l'amplitude des ondulations près de la discontinuité reste la même, leur énergie totale devient négligeable lorsque le nombre de termes est suffisamment élevé. Par conséquent, l'énergie globale de l'erreur d'approximation diminue, ce qui permet à la série de Fourier de représenter efficacement les signaux discontinus. La troncature de la série de Fourier à un nombre spécifique de termes fournit la meilleure approximation possible sous les contraintes données, en minimisant l'erreur. À mesure que le nombre de termes augmente, l'erreur diminue, s'approchant de zéro si le signal est idéalement représenté par une série de Fourier. Cette caractéristique est particulièrement importante dans des applications telles que le traitement d'images, où la minimisation de l'erreur est cruciale pour éviter les artefacts visuels. Dans l'approximation du signal d'image, la réduction de l'erreur de troncature de la série de Fourier garantit une plus grande fidélité et une meilleure qualité visuelle.

En conséquence, bien que le phénomène de Gibbs constitue un défi pour l'approximation du signal à l'aide de la série de Fourier, l'augmentation du nombre de termes et la compréhension de la distribution d'énergie dans l'erreur d'approximation peuvent atténuer considérablement ses effets, ce qui permet de représenter avec précision même les signaux discontinus.