16.6 : تقارب سلسلة فورييه

سلسلة فورييه هي أداة رياضية قوية لتمثيل الإشارات الدورية كمجموع لا نهائي من الأُسِّيات المعقدة. في الممارسة العملية، يتم اختصار هذه السلسلة اللانهائية إلى عدد محدود من الحدود، مما ينتج عنه مجموع جزئي. يجعل هذا الاختصار تقريب الإشارة ممكنًا ولكنه يطرح تحديات معينة، وخاصة بالقرب من الانقطاعات، والمعروفة باسم ظاهرة جيبس.

تشير ظاهرة جيبس ​​إلى التذبذبات المستمرة والتجاوزات التي تحدث بالقرب من الانقطاعات في الإشارة عند التقريب بواسطة سلسلة فورييه المقطوعة. لا تختفي هذه التموجات عالية التردد مع زيادة عدد الحدود؛ بدلاً من ذلك، يتم ضغطها نحو الانقطاع. لاحظ جيبس ​​هذا التأثير لأول مرة، مشيرًا إلى التموجات والتجاوزات المميزة التي تستمر بغض النظر عن عدد الحدود المضمنة في المجموع الجزئي.

إحدى الاستراتيجيات للتخفيف من تأثير ظاهرة جيبس ​​هي زيادة عدد الحدود في المجموع الجزئي. في حين تظل سعة التموجات بالقرب من عدم الاستمرارية قائمة، تصبح طاقتها الكلية مهملة مع عدد كبير بما فيه الكفاية من المصطلحات. وبالتالي، تنخفض الطاقة الكلية في خطأ التقريب، مما يسمح لسلسلة فورييه بتمثيل الإشارات غير المستمرة بشكل فعال. يوفر اقتطاع سلسلة فورييه إلى عدد معين من المصطلحات أفضل تقريب ممكن في ظل القيود المعطاة، مما يقلل من الخطأ. ومع زيادة عدد الحدود، ينخفض ​​الخطأ، ويقترب من الصفر إذا تم تمثيل الإشارة بشكل مثالي بواسطة سلسلة فورييه. هذه الخاصية مهمة بشكل خاص في التطبيقات مثل معالجة الصور، حيث يكون تقليل الخطأ أمرًا بالغ الأهمية لتجنب التحف البصرية. في تقريب إشارة الصورة، يضمن تقليل خطأ اقتطاع سلسلة فورييه دقة أعلى وجودة بصرية أفضل.

ونتيجة لذلك، في حين تمثل ظاهرة جيبس ​​تحديًا في تقريب الإشارة باستخدام سلسلة فورييه، فإن زيادة عدد الحدود وفهم توزيع الطاقة في خطأ التقريب يمكن أن يخفف بشكل كبير من آثارها، مما يسمح بتمثيل دقيق حتى للإشارات غير المستمرة.