21.2 : Sistemas eléctricos

En ingeniería eléctrica, el análisis de redes compuestas por componentes pasivos lineales (resistencias [R], capacitores [C] e inductores [L]) es fundamental. Estos componentes se organizan en circuitos donde la relación entre la entrada y la salida se puede analizar mediante funciones de transferencia. La función de transferencia de un circuito RLC, que relaciona la tensión a través de un condensador de la tensión de entrada, se puede derivar utilizando las leyes de Kirchhoff.

Para derivar la función de transferencia, considere un circuito RLC con los componentes conectados en serie. La Ley de Tensión de Kirchhoff (KVL) establece que la suma de todos las tensiones alrededor de un bucle cerrado es cero. Para un circuito RLC, esto se traduce en la siguiente ecuación integrodiferencial, suponiendo que las condiciones iniciales son cero:

Aquí, V(t) es la tensión de entrada, VR(t)=i(t)R es la tensión a través del resistor, VC(t) =q(t)/C es el voltaje a través del condesador, donde q(t) es la carga en el capacitor y VL(t) = L(di(t)/dt) es la tensión a través del inductor.

La corriente i(t) está relacionada con la carga q(t) por i(t)=dq(t)/dt. Sustituyendo estas relaciones en la ecuación KVL se obtiene:

Escribiendo la ecuación en forma de tensión, tomando la transformada de Laplace de ambos lados y suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero, se obtiene la siguiente ecuación:

Reordenando los términos para resolver la función de transferencia:

Esta función de transferencia representa el voltaje a través del condensador en respuesta a la tensión de entrada en el dominio de la frecuencia. La impedancia, análoga a la resistencia pero aplicable a condensadores e inductores, juega un papel clave en la definición de la función de transferencia. Además, la Ley de Corriente de Kirchhoff (KCL) también se puede utilizar para derivar funciones de transferencia a través del análisis nodal. Esta ley establece que la suma de las corrientes que ingresan a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. En el circuito RLC, la corriente total es la suma de la corriente a través del condensador y la corriente a través de la combinación en serie del resistor y el inductor. Al aplicar la LCK y simplificar, se puede lograr la misma función de transferencia.

La LCK y la LCK son herramientas poderosas en el análisis de circuitos, que permiten la derivación de funciones de transferencia que describen sucintamente el comportamiento dinámico de las redes eléctricas en el dominio de la frecuencia. Estos métodos son esenciales para el diseño y análisis de circuitos complejos en diversas aplicaciones.