21.2 : Elektrische Systeme

In der Elektrotechnik ist die Analyse von Netzwerken, die aus passiven linearen Komponenten bestehen – Widerständen (R), Kondensatoren (C) und Induktoren (L) – von grundlegender Bedeutung. Diese Komponenten sind in Schaltkreisen aufgebaut, in denen die Beziehung zwischen Eingang und Ausgang mithilfe von Übertragungsfunktionen analysiert werden kann. Die Übertragungsfunktion eines RLC-Schaltkreises, die die Spannung über einem Kondensator mit der Eingangsspannung in Beziehung setzt, kann mithilfe der Kirchhoffschen Gesetze abgeleitet werden.

Um die Übertragungsfunktion abzuleiten, betrachten Sie einen RLC-Schaltkreis mit in Reihe geschalteten Komponenten. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) besagt, dass die Summe aller Spannungen um einen geschlossenen Kreis Null ist. Für einen RLC-Schaltkreis ergibt sich daraus die folgende Integro-Differentialgleichung, wobei die Anfangsbedingungen mit Null angenommen werden:

Hier ist V(t) die Eingangsspannung, VR(t)=i(t)R die Spannung über dem Widerstand, VC(t) = q(t)/C  ist die Spannung über dem Kondensator, wobei ��(��) die Ladung auf dem Kondensator ist und VL(t) = L(di(t)/dt) die Spannung über der Induktivität ist.

Der Strom ��(��) ist mit der Ladung q(t) durch i(t)=dq(t)/dt verknüpft. Das Einsetzen dieser Beziehungen in die KVL-Gleichung ergibt:

Wenn man die Gleichung in Spannungsform schreibt, die Laplace-Transformation beider Seiten vornimmt und dann annimmt, dass alle Anfangsbedingungen Null sind, erhält man die folgende Gleichung:

Umstellen der Terme zur Lösung der Übertragungsfunktion:

Diese Übertragungsfunktion stellt die Spannung über dem Kondensator als Reaktion auf die Eingangsspannung im Frequenzbereich dar. Die Impedanz, analog zum Widerstand, aber anwendbar auf Kondensatoren und Induktoren, spielt eine Schlüsselrolle bei der Definition der Übertragungsfunktion. Darüber hinaus kann Kirchhoffs Stromgesetz (KCL) auch verwendet werden, um Übertragungsfunktionen über Knotenanalyse abzuleiten. Dieses Gesetz besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten eintreten, gleich der Summe der Ströme sein muss, die den Knoten verlassen. Im RLC-Schaltkreis ist der Gesamtstrom die Summe des Stroms durch den Kondensator und des Stroms durch die Reihenschaltung aus Widerstand und Induktor. Durch Anwenden von KCL und Vereinfachen kann man dieselbe Übertragungsfunktion erreichen.

KVL und KCL sind leistungsstarke Werkzeuge in der Schaltkreisanalyse, die die Ableitung von Übertragungsfunktionen ermöglichen, die das dynamische Verhalten elektrischer Netzwerke im Frequenzbereich prägnant beschreiben. Diese Methoden sind für die Entwicklung und Analyse komplexer Schaltkreise in verschiedenen Anwendungen von entscheidender Bedeutung.