16.2 : Serie exponencial de Fourier

En el procesamiento de señales de audio, la serie exponencial de Fourier desempeña un papel crucial en la síntesis de sonido, ya que permite descomponer sonidos complejos en componentes sinusoidales más simples. Este proceso de descomposición es fundamental para analizar y reconstruir notas musicales y otras señales de audio. La serie exponencial de Fourier expresa señales periódicas como la suma de exponenciales complejos en frecuencias armónicas tanto positivas como negativas, lo que proporciona una herramienta poderosa para el análisis de señales.

La identidad de Euler es fundamental en este contexto. Transforma los términos exponenciales en sus componentes coseno y seno equivalentes.

Al sustituir estos componentes en la serie de Fourier, podemos lograr una representación más detallada de la señal original. Esta transformación permite expresar la señal de manera concisa en términos de exponenciales complejos, lo que simplifica el análisis y la síntesis de señales periódicas.

Los coeficientes de la serie de Fourier, C_n, se determinan integrando la función a lo largo de un período. Matemáticamente, el coeficiente C_n se obtiene de la siguiente manera:

Donde T es el período de la señal, ω_0 es la frecuencia angular fundamental y n es el número armónico. Una vez que se calculan estos coeficientes y se sustituyen en la serie, la función se puede expresar como:

Esta ecuación proporciona una representación sucinta de la función periódica original en términos de sus componentes armónicos.

Existen tres formas interconectadas de la serie de Fourier: la forma seno-coseno, la forma amplitud-fase y la forma exponencial compleja. Estas formas ofrecen diferentes perspectivas y herramientas para analizar y sintetizar señales. La forma seno-coseno utiliza funciones trigonométricas, la forma amplitud-fase resalta la magnitud y la fase de cada componente de frecuencia, y la forma exponencial compleja aprovecha el poder de los números complejos para una representación más compacta.