16.2 : Exponentielle Fourierreihe

Bei der Audiosignalverarbeitung spielt die exponentielle Fourierreihe eine entscheidende Rolle bei der Klangsynthese, da sie die Zerlegung komplexer Klänge in einfachere sinusförmige Komponenten ermöglicht. Dieser Zerlegungsprozess ist grundlegend für die Analyse und Rekonstruktion von Musiknoten und anderen Audiosignalen. Die exponentielle Fourierreihe drückt periodische Signale als Summe komplexer Exponentialfunktionen sowohl bei positiven als auch negativen harmonischen Frequenzen aus und stellt somit ein leistungsstarkes Werkzeug für die Signalanalyse dar.

Die Euler-Identität ist in diesem Zusammenhang von entscheidender Bedeutung. Sie transformiert die Exponentialterme in ihre entsprechenden Cosinus- und Sinuskomponenten.

Indem wir diese Komponenten wieder in die Fourierreihe einsetzen, können wir eine genauere Darstellung des ursprünglichen Signals erreichen. Diese Transformation ermöglicht die präzise Darstellung des Signals in Form komplexer Exponentialfunktionen, was die Analyse und Synthese periodischer Signale vereinfacht.

Die Koeffizienten der Fourier-Reihe, C_n, werden durch Integration der Funktion über eine Periode bestimmt. Mathematisch ergibt sich der Koeffizient C_n aus:

Wobei T die Periode des Signals, ω_0 die Grundwinkelfrequenz und n die harmonische Zahl ist. Sobald diese Koeffizienten berechnet und wieder in die Reihe eingesetzt wurden, kann die Funktion wie folgt ausgedrückt werden:

Diese Gleichung bietet eine prägnante Darstellung der ursprünglichen periodischen Funktion in Bezug auf ihre harmonischen Komponenten.

Es gibt drei miteinander verbundene Formen der Fourier-Reihe: die Sinus-Cosinus-Form, die Amplituden-Phasen-Form und die komplexe Exponentialform. Diese Formen bieten unterschiedliche Perspektiven und Werkzeuge für die Analyse und Synthese von Signalen. Die Sinus-Cosinus-Form verwendet trigonometrische Funktionen, die Amplituden-Phasen-Form hebt die Größe und Phase jeder Frequenzkomponente hervor und die komplexe Exponentialform nutzt die Leistungsfähigkeit komplexer Zahlen für eine kompaktere Darstellung.